From: Wagner > >Oi para todos ! > > É possível descrever a probabilidade do evento abaixo em uma fórmula apenas? > > Uma caneta é girada por uma pessoa de forma aleatória. Os movimentos possíveis da caneta são >meia volta para a esquerda e meia volta para a direita. Qual a probabilidade de que após n >movimentos aleatórios a caneta tenha feito pelo menos 2 voltas ou para esquerda ou para a direita >(considere apenas o balanço final, ex: 2 voltas para esquerda e meia volta para direita deve ser >considerado como uma volta e meia para a esquerda). > > André T.
Caro André T., gosto dos problemas que você envia à lista, eu os considero muito criativos. Este não parece ser difícil, mas é um pouco comprido. Vamos considerar, para não ficar tratando de 1/2 em 1/2, que cada giro dá 1 volta para direita ou para a esquerda, i.e., acrescente +1 ou -1 às voltas totais. Queremos saber qual a probabilidade de a soma de n parcelas "+1" ou "-1" retornar um dos números: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 (de 4 voltas à esquerda à 4 voltas à direita). Se no total dos n giros, d foram à direita, se terá n - d à esquerda. Vamos separar em casos: CASO o resultado final seja 4 (ou -4). A soma de d à direita com n - d à esquerda (vezes -1) deve ser igual a 4, ou seja, d - (n - d) = 4 e d >=0 e n - d >=0. Quantas são as possibilidades? É preciso que 2d = 4 + n, ou seja, d = (4 - n)/2 que só é inteiro se n é par. Para que d >= 0 é preciso que n >= 4, n - d >= 0 vale também. Deve-se ter, de um total de n escolhas, (4 - n)/2 para a direita e o resto à esquerda. As possibilidades são COMB(n ; (4-n)/2). CASO o resultado final seja 3 (ou -3). De modo similar n >= 3 e precisa ser ímpar, as possibilidades são COMB(n ; (3-n)/2) CASO seja 2 (ou -2), n>=2 par e há COMB(n ; (2-n)/2) possibilidades. E geralmente CASO seja i (ou -i), n>=1 deve ter a paridade de i e há COMB(n ; (i -n)/2) possibilidades. Portanto se n for PAR >=4 o número de possibilidades de acabar em -4,-2,0,2 ou 4 é P(n) = 2*COMB(n ; (4-n)/2) + 2*COMB(n ; (2-n)/2) + COMB(n ; n/2). Se n for ÍMPAR >=3 o número de possibilidades de acabar em -3,-1,1 ou 3 é I(n) = 2*COMB(n ; (3-n)/2) + 2*COMB(n ; (1-n)/2) Para n >= 3 temos a quantidade total de P(n) se n é par e I(n) se n é impar. Como "juntar" essas fórmulas em uma só? Um jeito artificial é o seguinte. [(-1)^n + 1]/2 * P(n) - [(-1)^n - 1]/2 * I(n) Eduardo. Porto Alegre, RS. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================