A definicao de analiticidade pra funcoes complexas implica no seguinte
fato:
Se uma funcao complexa f e analitica num ponto, entao o seu polinomio de
taylor centrado nesse ponto converge para f numa bola suficientemente
pequena, centrada nesse ponto.
Esse fato se obtem por derivacoes da formula integral de Cauchy...
Pra funcoes f de R^n em R, por exemplo, diz-se que uma tal e analitica
(num ponto) se o seu polinomio de Taylor (centrado nesse
ponto) converge para f (numa vizinhanca do ponto).
Por exemplo, arctan(x) e analitica em x=0, apesar de que seu polinomio de
Taylor:
p(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-....
so converge para |x|<1.
Por outro lado, f(x)=exp(-1/x^2), se x<>0
f(0)=0
E infinitamente diferenciavel no zero, se definirmos todas as derivadas no
zero como sendo zero. (apesar das derivadas nao serem continuas no zero, o
limite de todas f'''''''''(x)->0, para x->0). E claro que essa f nao e
analitica, porque o seu polinomio de Taylor centrado no zero e
identicamente nulo e a funcao f so se anula em x=0.
Abraco,
Salvador
On Sat, 28 Sep 2002, Artur Costa Steiner wrote:
>
> Alguém poderia informar qual o verdadeiro significado do termo "função
> analítica"? Eu julgava que este termo só se aplicava a funções complexas
> e que significava uma função diferenciável em um subconjunto aberto do
> conjunto dos complexos. Mas já vi o termo ser aplicado a funções de R^n
> em R.
>
> Obrigado
> Artur
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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