On Thu, Dec 05, 2002 at 12:39:43AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Olá a todos > > Estou trabalhando em um programa ligado a energia elétrica e tenho uma > matriz quadrada A, de ordem p, na qual cada termo a_i,j está em [0,1]. > Além disto, tenho que a soma de cada coluna da matriz é 1. Embora não > seja exatamente isto, é como se A fosse uma matriz de probabilidades de > transição de estado, conforme aparece em processos estocásticos. > > Com algum algebrismo verificamos que a soma de cada coluna de A2 também > é 1, do que concluímos imediatamente que esta mesma condição vale para > qualquer potência inteira de A.
De fato. Dizer que as colunas de A somam 1 significa que XA = X onde X é a matriz linha (1 1 1 ... 1) e portanto de XA = X então XAA = XA = X. Dizer que as linhas somam 1 significa que AY = Y onde Y = X^t é o vetor coluna com todas as entradas iguais a 1 e se AY = Y então AAY = AY = Y. > Não consegui provar matematicamente, > mas, com uma planilha Excel, verifico que, se A não contiver zeros ou > 1s, então a seqüência (An) converge para uma matriz na qual todas as > colunas são idênticas e correspondem a um auto vetor de A associado ao > auto valor 1. De fato, considere T o conjunto de vetores coluna (x1,x2,...,xn) com x1+x2+...+xn = 1, 0 <= xi <= 1. Este conjunto T é invariante pela transformação linear A e é homeomorfo a um disco. Pelo teorema do ponto fixo de Brower deve existir um ponto fixo de A em T que claramente é um autovetor correspondente ao autovalor 1. Se existisse mais de um ponto fixo então por linearidade o subespaço contendo esses dois pontos seria todo de pontos fixos logo haveria um ponto fixo no bordo do nosso conjunto T, ou seja, haveria um ponto fixo v com uma ou mais coordenadas iguais a 0 e as demais maiores que 0. Se todos os coeficientes de A forem positivos devemos ter todas as coordenadas de Av estritamente positivas, o que é um absurdo. Assim o ponto fixo é único. Acabamos de provar que a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é igual a 1. A multiplicidade algébrica também é igual a 1 pois se existisse nilpotência associada ao autovalor 1 haveria um vetor v para o qual o limite de |A^n v| seria infinito o que é claramente falso: o conjunto dos vetores (x1,x2,...,xn) com |x1| + |x2| + ... + |xn| <= 1 é invariante por A. > Podemos provar matematicamente que isto, de fato, sempre se verifica? Se > a matriz contiver zeros (logo, também 1s) então pode não haver > converg6encia, certo? Claro, basta considerar a matriz (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) ou outra matrix de permutação qualquer. Os resultados que você quer são os teoremas de Perron-Frobenius. Você pode achar em livros de álgebra linear um pouco mais avançados do que os livros texto que você deve conhecer. Uma boa referência é: Theory of matrices, Gantmacher, F. R., Chelsea Publishing Co., New York, 1977. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================