Caro Paulo e demais colegas da lista: O maior comprimento de vareta que pode fazer a curva é igual ao comprimento do menor segmento com extremidades em OA e OB que contenha O'. Suponha que o segmento seja MN, com M em OA e N em OB.
Ponha m(MO') = x e m(O'N) = y. Então, queremos minimizar L(x,y) = x + y = m(MN) (x > 0 e y > 0) MN contém O'. Assim, chamando de P o ponto de OM tal que m(OP) = b e de Q o ponto de ON tal que m(OQ) = a, teremos que m(MP) = raiz(x^2 - a^2) e que os triângulos MPO' e O'QN são semelhantes. Assim: m(MP)/m(MO') = m(O'Q)/m(O'N) ==> raiz(x^2-a^2)/x = b/y ==> 1 - a^2/x^2 = b^2/y^2 ==> a^2/x^2 + b^2/y^2 = 1 (i) Diferenciando esta última expressão, teremos: -2*a^2/x^3*dx - 2*b^2/y^3*dy = 0. Resolvendo para dy: dy = -(a^2/b^2)*(y^3/x^3)*dx (ii) L(x,y) é mínimo ==> dL = dx + dy = 0 ==> dy = -dx (iii) (ii) e (iii) ==> (a^2/b^2)*(y^3/x^3) = 1 ==> y^3 = (b^2/a^2)*x^3 ==> y = (b/a)^(2/3) * x ==> y^2 = (b/a)^(4/3) * x^2 (iv) (i) e (iv) ==> a^2/x^2 + b^2/[(b/a)^(4/3) * x^2] = 1 ==> x = a^(2/3) * raiz[a^(2/3) + b^(2/3)] Analogamente, achamos y = b^(2/3) * raiz[a^(2/3) + b^(2/3)] Assim, L(min) = x + y = [a^(2/3) + b^(2/3)]^(3/2). Falta checar que este valor de L é realmente o mínimo, mas isso vem do fato que L é uma função infinitamente diferenciável de (0,+infinito) x (0,+infinito) em R, a qual é ilimitada superiormente e com as segundas derivadas identicamente nulas. Assim, dL = 0 ==> L é mínimo. De fato, é surpreendente que num problema onde toda a geometria é linear apareçam comprimentos elevados a 2/3. *************** Eu me pergunto se existe alguma solução para esse problema sem usar cálculo, mas apenas alguma desigualdade. Por exemplo, se o problema fosse: Minimizar L(x,y) = x + y x, y > 0 Sujeito a: a/x + b/y = 1 Poderíamos escrever: L = x + y = (x+y)*1 = (x+y)*(a/x + b/y) = a + b + a*(y/x) + b*(x/y). Pondo t = y/x ==> L = a + b + a*t + b/t = = a + b + raiz(a*b)*[raiz(a/b)*t + 1/(raiz(a*b)*t)] Pondo u = raiz(a/b)*t ==> = a + b + raiz(a*b)*(u + 1/u) >= a + b + 2*raiz(a*b), com igualdade <==> u = 1 <==> raiz(a/b)*(y/x) = 1 <==> y = x*raiz(b/a) ==> x = a + raiz(a*b) e y = b + raiz*a*b) Assim, L(min) = a + b + 2*raiz(a*b), com: x = a + raiz(a*b) e y = b + raiz*a*b) No entanto, não consegui encontrar uma solução correspondente para o seu problema. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, January 30, 2003 9:08 AM Subject: [obm-l] O armario e o corredor Ola pessoal ! O problema abaixo deve ser do conhecimento de muitos de voces ... Ele e facil, mas tem uma resposta surpreendente : PROBLEMA : ( Descricao do Corredor ) Sobre uma mesa desenha-se um angulo reto AOB. Tomando um ponto O' no interior deste angulo, desenhamos o angulo reto A'O'B'. A distancia entre os segmentos paralelos OA e O'A' e "a" e a distancia entre os segmentos paralelos OB e O'B' e "b". Qual e o comprimento maximo que uma vareta CD ( o Armario ) pode possuir de forma que ela possa, deslizando sobre a mesa, entrar em AA' e sair em BB' ? OBS : O comprimento maximo de CD deve ser dado em funcao de "a" e "b" SUGESTAO : Encoste a vareta em O'. Surgira um angulo entre a vareta e o segmento O'A' ( ou entre O'B'. Voce escolhe ). Expresse o comprimento da vareta em funcao do angulo, de "a" e de "b". Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 5,0905,300103 _________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================