Caros Artur e Salvador: Por enquanto, o que eu tenho é isso:
Por favor, prestem atenção, em especial, à passagem marcada por (*****) na volta da demonstração de (2), pois acho que eu introduzi uma hipótese restritiva. Seja I um intervalo real. 1. Prove que: f é unif. diferenciável em I <==> f' é unif. contínua em I Suponhamos que f seja uniformemente diferenciável em I: Seja eps>0. Então existe d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então: | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | < eps/2 e | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | < eps/2 Mas, nesse caso: | f'(x) - f'(y) | = | f'(x) - [f(x)-f(y)]/(x-y) + [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y)| <= | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | + | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | < eps/2 + eps/2 = eps. ==> f' é uniformemente contínua em I Suponhamos, agora, que f' seja uniformemente contínua em I: Seja eps>0. Então existe d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então | f'(x) - f'(y) | < eps. Pelo teorema do valor médio, para quaisquer x e y em I, existe z entre x e y tal que f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y). Como z está entre x e y, teremos 0 < |z - x| < |x - y| < d, o que implica, pela continuidade uniforme de f', que |f'(z) - f'(x)| < eps. Sendo assim: | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | = | f'(z) - f'(x) | < eps ==> f'é uniformememente diferenciável em I. **************** 2. Seja f diferenciável em I. f' é limitada em I <==> existe uma constante K>0 tal que: |f(x) - f(y)| <= K|x-y| para todos x e y em I Suponhamos que f' seja limitada em I. Então, para todo t em I, existe K > 0, tal que -K < f'(t) < K. Sejam x e y em I, com x <= y. Integrando a desigualdade acima de x até y, teremos: y y y INTEGRAL -Kdt < INTEGRAL f'(t)dt < INTEGRAL Kdt ==> x x x -K(y-x) < f(y) - f(x) < K(y-x) ==> |f(y) - f(x)| < K|y-x|. Se x > y, tudo muda de sinal e a mesma desigualdade entre valores absolutos continua valendo ==> f obedece à condição de Lipschitz em I. Suponhamos, agora, que f' não seja limitada. Então, para todo K > 0, existirão x e y em I, com x < y, tais que para todo t entre x e y, f'(t) > K (*****). Integrando de x até y, teremos: y y INTEGRAL f'(t)dt > INTEGRAL Kdt ==> x x f(y) - f(x) > K(y-x) ==> |f(y) - f(x)| > K|y-x| ==> f não obedece à condição de Lipschitz. ************ Funções da forma f(x) = x^n*sen(1/x) ou x^n*sen^2(1/x) para X <> 0 e f(0) = 0, são muito usadas em livros de análise como exemplos de: 1. funções descontínuas em x =0: f(x) = sen(1/x), se x <> 0, f(0) = qualquer número real 2. funções contínuas mas não diferenciáveis em x=0: f(x) = x*sen(1/x), se x <> 0, f(0) = 0 3. funções diferenciáveis mas com derivadas descontínuas em x=0: f(x) = x^2*sen(1/x), se x <>0, f(0) = 0. Etc.... ********** (3) acima mostra que podem haver funções diferenciáveis em toda a reta mas com derivada descontínua em algum ponto. No entanto, vale o "Teorema do Valor Intermediário" para derivadas: Seja f diferenciável em (a,b). Dados x1 e x2, com a < x1 < x2 < b, se f'(x1) < f'(x2) então, para todo c com f'(x1) < c < f'(x2), existe z ( x1 < z < x2 ) com f'(z) = c. Analogamente para quando f'(x1) > f'(x2). ********** Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável >> -----Original Message----- >> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- >> [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática) >> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM >> To: [EMAIL PROTECTED] >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável >> >> Caro Artur: >> >> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas >dos >> "se >> e somente se") eu me deparei com uma dúvida: >> >> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. >> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: >> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? >> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. > >Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no >ponto z=0 . É fácil verificar que se y<0<x, então f(x)-f(y)]/(x-y)>0 e >jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do >teorema do valor médio, deveríamos ter z entre x e y. > >PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? >Abraços >Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================