Caro Luís: > > > > infinito > > Soma 1 = SOMA ((n+1)/(2k+1))*C(n+1,2k+1) > > k = 0 > > > > infinito > > Soma 2 = SOMA (k/(n+k))*C(n,k) > > k = 0 > > > > infinito > > Soma 3 = SOMA (2k/(2n+k))*C(n,k) > > k = 0 > > Bom, cada uma das 3 somas acima tem um número finito de termos não nulos. Nos 3 casos, se k > n, então C(n,k) = C(2n+1,2k+1) = 0.
Além disso, temos o seguinte: k*C(n,k) = n!/((k-1)!*(n-k)!) = n*(n-1)!/((k-1)!*(n-k)!) = n*C(n-1,k-1) Levando em conta os dois fatos acima, a segunda soma pode ser reescrita como: n Soma 2 = SOMA (n/(n+k))*C(n-1,k-1) k = 1 Fórmula fechada também acho difícil encontrar, mas a idéia da integral é interessante. Considere a seguinte função: n-1 f(x) = n*(1+x)^(n-1)*x^n = SOMA n*C(n-1,j)*x^(n+j). j = 0 Integrando f(x) de 0 até 1, você acha: n-1 SOMA n*(C(n-1,j)/(n+j+1))*[1^(n+j+1) - 0^(n+j+1)] = j = 0 n-1 SOMA n*C(n-1,j)/(n+j+1). j = 0 Fazendo j = k - 1, teremos: n SOMA n*C(n-1,k-1)/(n+k) k = 1 que é justamente a Soma2 acima. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================