----- Original Message ----- From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, March 14, 2003 1:24 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primos com média 27(141 e primo?)
> Mas desde quando 141=3*47 e primo? > > -- Mensagem original -- > Ops! Que mancada!!!! Obrigado, JP. Veja a solução revisada a seguir - é exatamente igual à anterior, só que em vez de parar em 141, que não é primo, vai um único passo além e chega em 137, que é primo com certeza!!! Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn. Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn. Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos chamá-los de "primos inferiores". Todos os demais serão "primos superiores". A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média composta do maior número possível de primos inferiores e do menor número possível de primos superiores. Assim, vamos ver se damos a sorte de ter todos os 9 primos inferiores e apenas um primo (Pn) superior incluído na média. 27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> não é primo Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, começando com o mais alto (23): 27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> não é primo Além disso, a má notícia é que eliminando um único primo inferior ímpar, nós sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar um primo inferior, ele só pode ser o 2. Vejamos: 27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn ==> Pn = 145 ==> não é primo. O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores de cada vez. Começando com os dois mais altos (19 e 23), teremos: 27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> não é primo Além disso, da mesma forma que acima, concluímos que eliminando qualquer par de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá que ser necessariamente eliminado. Vamos eliminar 2 e 23: 27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> não é primo (como o JP bem observou) 2 e 19: 27*8 = 3+5+...+17+23+Pn = 79+Pn ==> Pn = 137 ==> esse é primo.... A fim de completar a análise, devemos considerar o caso em que há 2 ou mais primos superiores compondo a média. Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e n primos superiores (n >= 2). Então: 27*(m+n) = m*Minf + n*Msup (Minf (Msup) = média dos primos inferiores (superiores) ) ==> Msup = (27*(m+n) - m*Minf)/n = (27 - Minf)*m/n + 27 Não é difícil ver que o maior valor possível de (27 - Minf)*m ocorre justamente quando todos os 9 primos inferiores estão presentes ==> (27 - Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143 Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos superiores é menor ou igual a 143/n + 27 ==> uma função decrescente de n. Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 + 27 = 98,5 < 137. Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que 137 ==> a sequencia de primos distintos com média igual a 27 tem apenas um primo superior, igual a 137. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================