Caro Luis, Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e' igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria... Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]). R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada, lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e' um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n. O item ii) e' um corolario imediato do item i). Abracos, Gugu
> >This is a multi-part message in MIME format. > >------=_NextPart_000_011C_01C2F540.E6DAB480 >Content-Type: text/plain; > charset="iso-8859-1" >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > >Sauda,c~oes, > >Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as >(todas) n ra=EDzes simples de Q(x). > >Mostre que P(x) / Q(x) =3D \sum_{k=3D1}^n > >[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k] (*) > >Ou em LaTeX: > >\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n >\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k} > >Exemplos: > >i) >P(x) =3D 2x + 1 >Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2) >Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2 > >P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5 >Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2 > >P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)=20 > >ii) > >se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}. > >Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias??? > >Obrigado. > >[]'s >Lu=EDs > > >------=_NextPart_000_011C_01C2F540.E6DAB480 >Content-Type: text/html; > charset="iso-8859-1" >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > ><!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"> ><HTML><HEAD> ><META http-equiv=3DContent-Type = >content=3Dtext/html;charset=3Diso-8859-1> ><META content=3D"MSHTML 5.50.4807.2300" name=3DGENERATOR> ><STYLE>@font-face { > font-family: Tahoma; >} >@page Section1 {size: 8.5in 11.0in; margin: 1.0in 1.25in 1.0in 1.25in; } >P.MsoNormal { > FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0in 0in 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman" >} >LI.MsoNormal { > FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0in 0in 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman" >} >DIV.MsoNormal { > FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0in 0in 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman" >} >A:link { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >SPAN.MsoHyperlink { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >A:visited { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >SPAN.MsoHyperlinkFollowed { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >SPAN.EmailStyle17 { > COLOR: navy; FONT-FAMILY: Arial >} >DIV.Section1 { > page: Section1 >} ></STYLE> ></HEAD> ><BODY lang=3DEN-US vLink=3Dblue link=3Dblue bgColor=3Dwhite> ><DIV><FONT size=3D2>Sauda,c~oes,</FONT></DIV> ><DIV><FONT size=3D2></FONT> </DIV> ><DIV><FONT size=3D2>Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as</FONT></DIV> ><DIV><FONT size=3D2>(todas) n ra=EDzes simples de Q(x).</FONT></DIV> ><DIV><FONT size=3D2></FONT> </DIV> ><DIV><FONT size=3D2>Mostre que P(x) / Q(x) =3D = >\sum_{k=3D1}^n</FONT></DIV> ><DIV><FONT size=3D2></FONT> </DIV> ><DIV><FONT size=3D2>[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x -=20 >a_k] (*)</FONT></DIV> ><DIV><FONT size=3D2></FONT> </DIV> ><DIV><FONT size=3D2>Ou em LaTeX:</FONT></DIV> ><DIV><FONT size=3D2></FONT> </DIV> ><DIV><FONT size=3D2>\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n ><DIV><FONT size=3D2>\frac{</FONT><FONT = >size=3D2>[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x -=20 >a_k}</FONT></DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>Exemplos:</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>i)</DIV> ><DIV>P(x) =3D 2x + 1</DIV> ><DIV>Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2)</DIV> ><DIV>Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5</DIV> ><DIV> ><DIV>Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2) </DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>ii)</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}.</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias???</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>Obrigado.</DIV> ><DIV> </DIV> ><DIV>[]'s</DIV> ><DIV>Lu=EDs</DIV> ><DIV> </DIV></DIV></FONT></DIV></BODY></HTML> > >------=_NextPart_000_011C_01C2F540.E6DAB480-- > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================