Sauda,c~oes, Obrigado Gugu (como vc mesmo se assina), vou dar uma olhada.
Agora podemos demonstrar a la Euler que \sum_{n >= 1} 1 / (n^2 + 1) = (\pi\coth\pi - 1) / 2. Sejam P(z) = 1 + z^2/2 + ... + z^{2n}/(2n)! e Q(z) = z + z^3/3! + ... + z^{2n+1}/(2n+1)! . Observe agora que: i) grau de P < grau de Q; ii) Q' = P; iii) lim P = \cosh z; lim Q = \sinh z iv) \cosh z / \sinh z = \coth z. v) Q tem 2n+1 raízes simples vi) as raízes de \sinh z são ik\pi, k = 0,+-1,+-2,... Conclua que lim P(z)/Q(z)=\coth z = 1/z + 2z [1/(z^2 + \pi^2) + 1/(z^2 + 4\pi^2) + ....] E coloque z=\pi no resultado acima. Não é totalmente rigoroso mas é interessante. []'s Luís -----Mensagem Original----- De: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2003 22:47 Assunto: Re: [obm-l] fracoes parciais > Caro Luis, > Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e' > igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria... > Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]). > R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando > entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por > Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse > polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o > termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo > e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada, > lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples > de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo > k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e' > um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n. > O item ii) e' um corolario imediato do item i). > Abracos, > Gugu > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================