On Fri, Jun 06, 2003 at 01:54:28AM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote: > Caro Duda, > Um texto basico qualquer sobre superficies de Riemann e' suficiente. No > curso que eu fiz no IMPA (ha' algum tempo...) nos usamos o Farkas-Kra. Na > verdade a solucao que eu conheco e' do Nicolau. Se nao me engano a ideia e' > complexificar os circulos e considerar o conjunto dos pares de pontos (p,q) > onde p pertence ao circulo "de fora" e q ao "de dentro" de modo que a reta > pq e' tandente ao circulo "de dentro". Eu pus essas aspas pois ao > complexificarmos os circulos (i.e., ao considerarmos conjuntos definidos > pelas mesmas equacoes que as dos circulos, mas considerando as variaveis > complexas), eles passam a se intersectar, e na verdade esses pontos de > intersecao tem um papel especial: a pontos genericos p d circulo de fora > correspondem dois pontos q no de dentro, mas se p e' um ponto de intersecao > dos dois circulos entao so' corresponde a ele o ponto p. Esses pares (p,q) > formam uma superficie de Riemann M, e f(p,q)=p e' uma funcao de grau 2 de M > no circulo de fora (que, complexificado, e' uma esfera de Riemann). Como f > tem dois pontos de ramificacao (os dois pontos de intersecao dos "circulos"), > o teorema de Riemann-Hurwitz mostra que M tem que ser um toro.
Desculpe, só agora relendo percebi o erro. Não são dois pontos de interseção, são quatro. Duas cônicas se intersectam sempre em quatro pontos se contados com multiplicidade. No nosso caso os cículos são, sem perda de generalidade: x^2 + y^2 = a^2 x^2 + x + y^2 = b^2 o que projetivizando vira x^2 + y^2 - a^2 z^2 = 0 x^2 + xz + y^2 - b^2 z^2 = 0 que têm as interseções (b^2, +-sqrt(a^2 - b^4), 1) (1, +-i, 0) donde os quatro pontos são distintos. Aliás se fossem dois pontos de ramificação a superfície seria uma esfera. Sendo quatro, a superfície é um toro, como o Gugu corretamente afirmou. > Agora > consideramos a funcao g que leva (p,q) em (p',q'), onde p' e p sao os pontos > de intersecao de pq com o circulo "de fora" e p'q e p'q' sao as duas > tangentes ao circulo "de dentro" passando por p'. Isso da' um automorfismo > (bijecao analitica com inversa analitica) de M. Certo, mas talvez seja melhor ir com um pouco mais de calma. A função f1 de M em M que leva (p,q) em (p,q') (a outra tangente passando por p) é uma involução analítica; seus quatro pontos fixos são quando p é um dos quatro pontos de interseção. Analogamente, a função f2 de M em M que leva (p,q) em (p',q) (a interseção da reta tangente com o círculo de fora) também é uma involução analítica; ela também tem quatro pontos fixos correspondentes às quatro retas tangentes simultaneamente aos dois círculos. A função g é a composta destas duas involuções. > Como todo automorfismo de M, > que e' um toro, se levanta a uma translacao de C, Todo automorfismo não; as funções f1 e f2 levantam para funções da forma z |-> c1 - z e z |-> c2 - z, respectivamente. Isso pode ser visto pelo fato delas serem involuções e de terem 4 pontos fixos. Compondo as duas vemos que g efetivamente levanta para uma translação. > e como g tem um ponto > periodicos de periodo n, entao g^n e' a identidade de M, e acabou. Nao e' > isso, Nicolau ? Acho que agora está certo. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
