-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1 Em Sex 27 Jun 2003 01:32, Denisson escreveu: > Alguém poderia demonstrar como se chegou aos critérios de divisibilidade? > Em especial aos mais dificeis como o critério do 17. Não peço uma > demonstração matemática formal, peço algum argumento lógico. > [...]
Suponha que você quer o critério de divisibilidade por um primo m, inspirado na idéia de arrancar o úmtimo dígito do número. Suponha que n = 10a + b. Suponha que após arrancarmos o último dígito, ele seja multiplicado por c. Então o novo n, n', é a - bc. Se descobrirmos constantes x, y e z tais que xn + yn' = mp (*) onde p é uma função de a, b e c, e nem x nem y são múltiplos de m, então temos um critério de divisibilidade para m (se um dos termos do lado esquerdo for múltiplo de m, o outro também deve ser). Exemplo: Seja m = 7. Então a equação (*) se escreve como x(10a + b) + y(a - bc) = 7p a(10x + y) + b(x - yc) = 7p Basta encontar x, y e c tais que tanto 10x + y quanto x - yc sejam múltiplos de 7. Mas então 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) é múltiplo de 7. Mas y não é múltiplo de 7, logo 1 + 10c é múltiplo de 7. Um c pequeno que satisfaz isso é c = 2. Logo 10x + y e x - 2y são múltiplos de 7. Não é muito difícil achar um par que satisafaça isso (x=1 e y=4, por exemplo). Logo o critério de divisibilidade por 7 é arrancar o último dígito e subtrair o seu dobro do número restante. Note que a escolha de x e y não importa. De fato, 10x + y = 0 e x - 2y = 0 são expressões equivalentes módulo 7, logo tomar y = 1 e x qualquer funciona. Mas agora olhe para o problema no caso geral novamente. A equação (*) significa a(10x + y) + b(x - yc) = mp logo basta encontrar x, y, c tais que (10x + y) e (x - yc) sejam múltiplos de m, o que implica que 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) é múltiplo de m, o que implica que 1 + 10c é múltiplo de m. Armado de tal c, basta achar x e y tais que 10x + y e x - yc seja múltiplos de m. Mas x = c, y = 1 é uma solução automática. Logo todo o problema se resume a achar tal c. Mas os múltiplos de m da forma 10c + 1: i) ou são positivos e terminam em 1 ii) ou são negativos e terminam em 9. Logo, para descobrir um valor de c, basta listar os múltiplos de m até encontar o primeiro múltiplo que termine em 1 ou 9. Se ele for da forma xyz1, c = xyz. Se for da forma xyz9, c = -xyz - 1 (muito cuidado: um c negativo significa subtrair um múltiplo negativo do último dígito, i.e. você está *somando* um múltiplo do último dígito). Exemplo: m = 13. Quais são os múltiplos de 13? 13, 26, *39*, 52, ... Logo c = -3-1 = -4. Logo a regra de divisibilidade é arrancar o último dígito e somá-lo, multiplicado por 4, ao número restante. (Tente isso com 13*246346356 = 3202502628) Exemplo: m = 17. Quais são os múltiplos de 17? 17, 34, *51*, ... Logo c = 5. Logo a regra de divisibilidade é arrancar o último dígito e subtraí-lo, multiplicado por 5, do número restante. (Tente isso com 17*7612058 = 129404986) Isso tem uma conseqüência legal: Achar a regra de divisibilidade por um primo m qualquer terminado em 1 ou 9 (i.e. 11, 31, 41, ..., 19, 29, 59, ...) é trivial. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+/HknalOQFrvzGQoRArKdAJ92brzRRBv1H6GBEQcmrttmOTKp+ACgoyh2 OXzZ5WKFDns2rqQWRpB9ugM= =n1iC -----END PGP SIGNATURE----- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================