> Aproveito a oportunidade para acrescentar: > (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus ) e cos (20 graus ) são > irracionais. > (b) Podemos generalizar este fato de alguma forma? > > Abraços a todos. > ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e > creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado, > você chegou a enviá-la? )
a lista também aparece na web: www.obm.org.br se você perder uma mensagem ela provavelmente vai ser encontrada na web. uma das possíveis maneiras de provar isso é: cos(nx) = constante onde x é o grau que você acredita ter a propriedade que cos x é irracional e nx é algum ilustre conhecido, por exemplo: cos(3*20) = cos60º = 1/2 chame x = 20 cos(3x) = 1/2 cos(x + 2x) = cosx*cos2x - senx*sen2x = cosx*[cos²x - sen²x] - senx[2senx cosx] agora expresse tudo em função de cosx (use o fato sen²x = 1 - cos²x). a partir daí tome y = cosx e temos uma equação envolvendo um polinômio, o grau desse polinômio é 3, se ele for irredutível (não continuei a conta para ver qual polinômio vai dar, mas não custa nada tentar usar o critério de Eisenstein e alguns outros) então o polinômio não tem raízes racionais, mas como cos(20) é raiz então cos(20) não pode ser racional. se o polinômio tivesse grau > 3 a coisa ficaria um pouco mais chata, isso porque ele poderia ser redutível e não possuir raízes racionais, mas se você mostrar que um polinômio qualquer de grau > 1 é irredutível (no corpo Q dos racionais) então ele não pode ter uma raiz racional, pois se tivesse r em Q raiz, então (y - r) dividiria o polinômio em Q[Y] e este não seria irredutível. --- vamos ver o problema do Cláudio, temos N inteiro, N != 10^k para todo k logN = r, suponha r em Q, r = a/b, b != 0 com mdc(a, b) = 1 10^(a/b) = [10^a]^(1/b) = N, inteiro então N^b = 10^a... se N != 10^k, então N = 2^u * 5^v * M, onde M não é divisível por 2 ou por 5 se M > 1, temos que existe um primo diferente de 2 e 5 na composição de N, logo N^b != 10^a se M = 1, então N^b = (2^u * 5^v)^b = 2^(ub)*5^(uv) = 10^a então ub = a = vb, mas então u = v => N = 2^u*5^u = 10^u provamos então que r não pode ser racional. [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
