Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece
estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador
correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio
caracteristico tem apenas raizes complexas?
Por exemplo, o operador T:R^2 -> R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem
como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i.
1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de
R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao
eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os
autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor?
Um abraco, Claudio.
Oi Claudio,
Se você considera R^2 como espaço vetorial sobre R, T não tem autovalores. Como você mesmo observou, x^2 - 2x + 2 não possui raízes reais. O único problema é que você roubou ao olhar para o conjunto dos complexos... Autovalores são elementos do corpo que você associou ao espaço vetorial.Tá vendo, quem mandou você escolher um corpo ruim!!! Se você não escolheu um corpo K algebricamente fechado, claramente terá problemas ao considerar as transformações lineares de K^n em K^n ( K^n E.V. sobre K ). Dizer que os autovalores de T não estão associados a nenhum autovetor não faz sentido.
V espaço vetorial sobre o corpo K. T : V -> V linear
Caso exista x em K tal que ( T - xI ) seja não-injetora, dizemos que x é autovalor de T.
Sabemos que ( T - xI ) é não-injetora <=> existe um vetor v não-nulo tal que ( T - xI )v = 0. Daí v é dito autovetor associado a x. Este <=>, na verdade, é herdado lá dos grupos...
G grupo, f : G -> G homomorfismo. Então f é injetora <=> ker(f) é trivial (somente o elemento identidade)
Eu sei que você já sabe tudo isso, mas acredito que será útil para alguém !
-- []s Felipe Pina
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