Oi Artur e demais amigos,
A minha ideia foi mais ou menos a de voces. Antes de mais nada, defina f:IN->IN como f(a_0a_1...a_n)=a_0^2+...+a_n^2. Primeiro note que se voce comecar com qualquer numero de no max. 3 algarismos, o proximo da seq. eh menor que 3X9^2=243. Assim, o conjunto 1 a 1000 eh invariante por f (a imagem dele eh o conjunto 1 ate 243). Desta forma a "orbita" de todo numero entre 1 e 1000 eh eventualmente periodica. Ai, num computador eu chequei que as unicas periodicas sao as do 1 (fixa) e a do 4. Pra terminar, eh so notar que para numeros grandes, com mais de 3 algarismos, rapidamente a sequencia cai ate ficar com no maximo 3. EX: 9999999999 ->810 9999999........999999 -> n*81 .... -> o que eh facil ver, rapidinho fica menor que mil. Abraco, Salvador On Wed, 4 Feb 2004, Artur Steiner wrote: > Oi salvador, > Eu pensei um pouco sobre este problema, mas a unica > conclusao a que eu ateh agora cheguei foi a mesma que > o Claudio jah apresentou em uma outra mensagem. > Sabemos que, se comecarmos com um x(1) >100, para > algum n acabaremos tendo necessariamente que x(n) > <100. Logo, para analisarmos o comportamento final da > sequencia basta considerar os casos em que 1 <= x(1) > <= 99. Eu tentei provar que, se sairmos de 11 <= x(1) > <= 99 acabaremos chegando a um x(n) <=9, mas nao > fechei a prova. Podemos verificar que se x(n) tem 2 > algarismos entao -25 <= x(n+1) - x(n) <= 63, mas isto > nao me levou aa conclusao desejada. > Voce seguiu algum caminho semelhante? > Artur > > > --- Salvador Addas Zanata <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Oi gente, > > > > Acabei de resolver um probleminha, que a primeira > > vista me pareceu > > impossivel, mas na verdade eh facil. > > > > > > Dado um natural, digamos 13, o proximo eh 1²+3²=10, > > depois vem 0²+1²=1 e > > ficamos no 1,1,1,.... > > > > > > Se comecarmos com 4, vamos para 16, depois 37, 58, > > 89, 145, 42, 20, 4, 16, > > 37, 58, 89,.... , 20, 4, 16,.... e indefinidamente > > nesta sequencia. > > > > > > O problema eh: Prove que todo numero, ou termina no > > 1, ou nessa seq. > > 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... > > > > > > Disse que parecia impossivel, pois me lembrou na > > hora o seguinte problema: > > > > se n for par, divida por 2, se for impar, > > multiplique por 3 e some 1. > > > > > > Exemplo: > > > > > > > 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,... > > > > > > Prove que todo n converge para o loop > > 4,2,1,4,2,1,... > > > > > > Esse esta em aberto, e pelo que eu sei longe de ser > > resolvido. > > > > > > > > Abraco, > > > > Salvador > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > __________________________________ > Do you Yahoo!? > Yahoo! SiteBuilder - Free web site building tool. Try it! > http://webhosting.yahoo.com/ps/sb/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================