-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1 [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>] > E aqui vai um de algebra linear: > > Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que: > A^5 = I (= matriz identidade n x n) e A*B*A^(-1) = B^2. > Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I. > Qual o menor valor possivel de k? > [...]
A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado, A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2, A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação, A^3*B*A^(-3) = B^8. A^4*B*A^(-4) = B^16. A^5*B*A^(-5) = B^32 <==> B = B^32 <==> B^31 = I, pois B é invertível. Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal que B^k = I é 31. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAJo9GalOQFrvzGQoRAs38AJ4kmHtM/WxMz7SZlbekmF2ZP89zxACfSY4e a5MmEhjuM2j3hP06rD5mRSo= =aW7a -----END PGP SIGNATURE----- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================