on 08.02.04 17:34, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- > Hash: SHA1 > > [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>] >> E aqui vai um de algebra linear: >> >> Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que: >> A^5 = I (= matriz identidade n x n) e A*B*A^(-1) = B^2. >> Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I. >> Qual o menor valor possivel de k? >> [...] > > A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado, > > A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2, > A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação, > A^3*B*A^(-3) = B^8. > A^4*B*A^(-4) = B^16. > A^5*B*A^(-5) = B^32 <==> B = B^32 <==> B^31 = I, pois B é invertível. > > Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o > que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é > primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal > que B^k = I é 31. > > []s, > > - -- > Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
De fato, faltou dizer que B <> I pro problema ter alguma graca. Alias, a versao original tratava de elementos de um grupo e nao especificamente de matrizes. Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================