Olá a todos! A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A, obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo, o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede 30º + 50º = 80º.
Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução. Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver utilizando trigonometria e/ou geometria analítica. Um grande abraço, Guilherme Marques. -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: >On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: >> 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P >> e Q >sao >> pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo >> CÂP = >50o > e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- > >Este problema é um clássico e é bastante difícil. >A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares >e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando as geometrias das figuras. O que me veio a mente depois de ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste caso. Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver o caso geral não sejam elementares e apelariam para formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da lista possa falar a respeito. []s Ronaldo L. Alonso _________________________________________________________ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ ======================================================================== = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ======================================================================== = ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================