Esta solucao do Guilherme eu nao conhecia. Este problema e´ de fato o mesmo do livro do Morgado. Ele (o problema, e nao o Morgado) aparece ainda no livro do Coxeter ("Geometry Revisited") e ainda em um outro livro que tenho de "Selected Problems in Geometry". A primeira vez que o vi (o problema) foi num curso pre-vestibular em que o Prof. Brandao do Impacto me mostrou a seguinte solucao. (mesmo tendo a solucao do Guilherme, talvez valha a pena seguir esta outra solucao pela elegancia da mesma).
Trace CD, com D em AB, tal que <ACD = 20 (ou seja, esta reta CD é completamente magica, mas ela gera uma serie de resultados interessantes que tornará o problema até mesmo trivial) Do triângulo ACD: <CAD = 80, <ACD = 20 => <ADC = 80 => AC = CD (1) Do triângulo CAP: <CAP = 50, <ACP = 80 => <APC = 50 => AC = CP (2) De (1) e (2): CD = PC, logo o triângulo CDP é isósceles com um ângulo <DCP = 60. Com estas condições, o triângulo CDP é de fato um triângulo equilátero e assim: CD = CP, <DCP = 60 => <CDP = 60, <CPD = 60 e ainda CD = CP = DP (3) Além disto, tem-se do mesmo triângulo que: <APD = 10 (A) Do triângulo DCQ: <CDQ = 100, <DCQ = 40 => <CQD = 40 => CD = DQ (4) De (1), (2), (3) e (4): AC = CD = CP = DP = DQ (!) Do triângulo DPQ: DP = PQ, <PDQ = 40 => <DPQ = 70 (B) Por (A) e (B), o ângulo pedido, <APQ, é tal que <APQ = <APD + <DPQ = 10 + 70 = 80 Obs: A versão mais comum deste problema pede o ângulo <CPQ que naturalmente é igual a 30. > Olá a todos! > > A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a > AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A, > obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é > equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo, > o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos > que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos > DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma > base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e > estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de > DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede > 30º + 50º = 80º. > > Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos > quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo > APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo > CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução. > Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema > do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver > utilizando trigonometria e/ou geometria analítica. > > Um grande abraço, > > Guilherme Marques. > > > > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em > nome de [EMAIL PROTECTED] > Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12 > Para: [EMAIL PROTECTED] > Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO > > > Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: > >>On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: >>> 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P >>> e Q >>sao >>> pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo >>> CÂP = >>50o >> e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- >> >>Este problema é um clássico e é bastante difícil. >>A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares >>e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. > > Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, > mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um > monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando > as geometrias das figuras. O que me veio a mente depois de > ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para > ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste > caso. > Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver > o caso geral não sejam elementares e apelariam para > formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da > lista possa falar a respeito. > > []s > Ronaldo L. Alonso > > _________________________________________________________ > Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? > Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br > Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ > > ======================================================================== > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================================== > = > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================