On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote: > Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num > triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se > fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo > seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C = > 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz.
O ângulo entre dois círculos máximos é o ângulo entre os planos que os contêm. No caso do tetraedro regular podemos tomar por vértices os pontos (+-1,+-1,+-1) com o produto das três coordenadas iguais a 1, Assim cada face é perpendicular ao vetor correspondente à face oposta e o ângulo A entre duas faces vizinhas é Pi menos o ângulo entre dois destes vetores. O ângulo entre dois vetores você deve saber calcular, é só usar o produto interno. > Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização > dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R, > determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as > semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, > cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes > êxitos. Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária centrada no vértice do triedro. É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi. Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes. Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria). O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter, apenas acho que vai ser uma fórmula feia. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================