On Thu, Feb 26, 2004 at 12:54:30PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote: > > Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização > > dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R, > > determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as > > semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, > > cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes > > êxitos. > > Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro > tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo > sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária > centrada no vértice do triedro. > > É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos > entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo > esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi. > Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria > diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano > é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes. > Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os > ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa > de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria). > > O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo > esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica > de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter, > apenas acho que vai ser uma fórmula feia.
Ok, vamos obter a fórmula que você quer. Suponha que os lados do triângulo esférico sejam a, b, c e os ângulos sejam A, B, C. O primeiro passo é usar a lei dos cossenos esférica: cos a = cos b cos c + cos A sen b sen c ou cos A = (cos a - cos b cos c)/(sen b sen c) Bem, provavelmente a maioria de vocês nunca viu a lei dos cossenos esférica, então vamos provar. Podemos supor sem perda de generalidade que o vértice A é (1,0,0) e que o vértice B é (cos c, sen c, 0). Não é difícil verificar que o vértice C é (cos b, cos A sen b, +- sen A sen b), onde o sinal tem a ver com a orientação do triângulo. Note que a lei dos cossenos euclidiana é um caso limite da lei dos cossenos esférica. De fato, vamos fazer o triângulo encolher, isto é, ter lados at, bt, ct onde t tende a 0 por valores positivos. Queremos cos A(0), o valor limite de cos A(t) quando t tende a zero: cos A(t) = (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct) cos A(0) = lim_{t -> 0} (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct) (l'Hopital) - a sen at + b sen bt cos ct + c cos bt sen ct = lim_{t -> 0} ------------------------------------------------- b cos bt sen ct + c sen bt cos ct (continua dando 0/0, vamos usar l'H de novo, mas agora não vai mais dar 0/0, então vamos jogar fora os termos que ainda dão 0, trocar os senos por 0 e os cossenos por 1) - a^2 + b^2 + c^2 = -------------------- 2bc Ou a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A(0). Note ainda que a lei dos cossenos esférica tem um dual. O dual de um triângulo esférico de vértices A, B, C e lados a, b, c tem vértices A', B', C' e lados a', b', c' onde A' e perpendicular a a, B' é perpendicular a b, ..., c' é perpendicular a C. Note ainda que A' = Pi - a, B' = Pi - b, ..., c' = Pi - C. Assim cos a' = cos b' cos c' + cos A' sen b' sen c' vira - cos A = cos B cos C - cos a sen B sen C Mas voltando à sua pergunta, temos A = arc cos((cos a - cos b cos c)/(sen b sen c)) B = arc cos((cos b - cos c cos a)/(sen c sen a)) C = arc cos((cos c - cos a cos b)/(sen a sen b)) e como S = A + B + C - Pi isso nos dá uma fórmula complicada para a área em função de a, b, c. Talvez exista uma fórmula mais simples, não sei. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================