Tarcio,
Para o problema 1, temos: 2x + y = 1 <=> y = -2x + 1 (I) x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 + xy (II) Substituindo I em II: (1-x)^2 - 2x^2 + x = x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + x = - x^2 - x + 1 Seja F(x) = - x^2 - x + 1, teremos o maior valor de x para: F'(x) = - 2x - 1 = 0 ==> x = - 1/2 x = - 1/2 ==> y = -2(-1/2) + 1 = 2 Voltando em II: (-1/2 + 2)^2 + 2*(-1/2) = 9/4 - 1 = 5/4 Resposta: A. Para o problema 2, x + y = 810 ==> y = 810 - x mdc(x,y) = mdc(x,810-x) = mdc(x,810) = mdc(x,2*3^4*5) = 45 = 3^2 * 5 x = k * 3^2 * 5, tal que x < 810 e sendo k um número inteiro, diferente de zero, e não sendo múltiplo de 2 ou 3. k = 1 ==> x = 1*3^2*5 = 45 e y = 765 k = 5 ==> x = 5*3^2*5 = 225 e y = 585 k = 7 ==> x = 7*3^2*5 = 315 e y = 495 k = 11 ==> x = 11*3^2*5 = 495 e y = 315 k = 13 ==> x = 13*3^2*5 = 585 e y = 225 k = 17 ==> x = 17*3^2*5 = 765 e y = 45 Logo, há 6 pares (x,y), para os quais os valores de k pertencem a {1,5,7,11,13,17}. Resposta: A. Para o problema 3, (10a+b)^2 - (10b+a)^2 = (10c+c)^2 (10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) = (11c)^2 11*9*(a+b)(a-b) = 11^2*c^2 1*1*3*3*(a+b)(a-b) = 11*c*c 1º caso: c = 1 9(a+b)(a-b) = 11 ==> (a+b)(a-b) = 11/9 (não convém) 2º caso: c = 3 (a+b)(a-b) = 1*11 1ª possibilidade: (a+b=1 e a-b=11) <=> (a=6 e b=-5) (não convém) 2ª possibilidade: (a+b=11 e a-b=1) <=> (a=6 e b=5) Logo, a+b+c = 6+5+3 = 14. Resposta: D Abraços, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: Tarcio Santiago To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 24, 2004 2:13 PM Subject: [obm-l] OLÁ AMIGOS ESTOU COM MAIS ALGUMAS DÚVIDAS. PODERIAM AJUDAR POR FAVOR. 1) Se 2x + y = 1, com x e y reais, então o maior valor da expressão x² + 3xy + y² é igual a ; A)5/4 B)7/4 C)13/8 D)17/8 E)31/16 2) Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo divisor comum de x e y por mdc (x,y); assim, o número de pares ordenados (x,y) que são soluções do sistema : x + y = 810 mdc(x,y)=45 A)6 B)8 C)10 D)16 E)18 3) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)² - (ba)² = (cc)². O valor de (a + b + c) é igual a: A) 11 B)12 C)13 D)14 E)15 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================