Ola voces!!!! Cl;audio, voce conhece algum livro POWER o suficiente para aprender essas coisas de Algelin que se usam na OBM? Geralmente eu fico perdido num problema desses...
--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi, Nicolau: > > Na sua solucao do problema de se determinar o > numero de matrizes A de > GL(4,p) com A^2 = I, voce usou o fato de que > (Z_p)^4 pode ser decomposto > numa soma direta U + V com U = {u | Au = u} e V > = {v | Av = -v}. > > Seguindo nessa linha, eu pensei no seguinte: > > Em virtude dessa decomposicao, cada A serah > semelhante (conjugada) a > exatamente uma dentre cinco matrizes diagonais, > cada uma com k = 0, 1, 2, 3 > ou 4 elementos iguais a 1 e os demais -1 (ou, > mais precisamente, p-1). > > As matrizes serao: > k = 0: diag(-1,-1,-1,1) = -I > k = 1: diag(-1,-1,-1,1) > k = 2: diag(-1,-1,1,1) > k = 3: diag(-1,1,1,1) > k = 4: diag(1,1,1,1) = I. > > Agora, minha ideia eh calcular o numero de > elementos nas classes de > conjugacao de cada uma dessas matrizes. > > k = 0 ==> A = -I ==> 1 elemento > k = 4 ==> A = I ==> 1 elemento > > Nos demais casos, eu vou usar o fato de que o > numero de elementos na classe > de conjugacao de uma matriz D eh igual ao > indice do centralizador de D em > GL(4,p), ou seja, igual a |GL(4,p)|/|C(D)|. > > |GL(4,p)| = (p^4 - 1)(p^4 - p)(p^4 - p^2)(p^4 - > p^3). > > k = 1 ==> diag(D) = (-1,-1,-1,1) > Se XD = DX, entao X terah a ultima linha e a > ultima coluna nulas, exceto > pelo elemento X(4,4), que deve ser <> 0, pois X > eh nao-singular. > Assim, o numero de tais X serah: > |C(D)| = (p-1)*|GL(3,p)| = > (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==> > [GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1) > > k = 2 ==> diag(D) = (-1,-1,1,1) > Se XD = DX, entao X terah os dois blocos 2x2 > fora da diagonal principal > nulos (ou seja, X(1,3) = X(1,4) = X(2,3) = > X(2,4) = X(3,1) = X(3,2) = X(4,1) > = X(4,2) = 0). Portanto: > |C(D)| = |GL(2,p)|^2 = (p^2-1)^2*(p^2-p)^2 ==> > [GL(4,p):C(D)] = p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1) > > k = 3 ==> diag(D) = (-1,1,1,1) > Esse caso eh analogo ao de k = 1. Logo: > |C(D)| = (p-1)(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2) ==> > [GL(4,p):C(D)] = p^3*(p^3 + p^2 + p + 1) > > Logo, o numero total e matrizes A eh igual a: > 1 + 1 + 2*p^3*(p^3+p^2+p+1) + > p^4*(p^2+1)*(p^2+p+1) = > p^8 + p^7 + 4*p^6 + 3*p^5 + 3*p^4 + 2*p^3 + 2 > > > Ta certo isso? > > Um abraco, > Claudio. > > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ===== TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) ______________________________________________________________________ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================