On Thu, Mar 18, 2004 at 06:03:51PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Eu me referia ao seguinte problema: dado um conjunto nao enumeravel A de > reais, decidir se Q[A] = R ou nao. > > Por exemplo, se A eh um intervalo ou o conjunto de Cantor usual, entao Q[A] > = R. > > Pro outro caso, eu pensei em Q(D) (D = conjunto dos numeros diofantinos) > > Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida > 0. Logo nao eh > enumeravel.
Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto dos diofantinos tem medida zero. > Se x estah em D, entao existe um inteiro positivo N tal que: > n > N ==> |p/q - x| > 1/q^n, quaisquer que sejam os inteiros p, q com q > 0. > > Isso quer dizer que todo numero algebrico eh diofantino. > > Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e > que o o inverso de um diofantino tambem o seja. Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos. De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D} têm ambos medida total logo tem interseção não vazia. Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z temos que tanto y quanto z são diofantinos. Aliás também é verdade que todo número é uma soma de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================