Prof. Nicolau, por acaso este livro que vc cita é este?? Matemática Concreta: Fundamentos para a Ciência da Computação DONALD E. KNUTH OREN PATASHNIK ET AL. RONALD L. GRAHAM http://www.submarino.com.br/books_productdetails.asp?Query=ProductPage&ProdTypeId=1&ProdId=41736&ST=SE
Daniel S. Braz ======================== --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Sat, Mar 27, 2004 at 01:27:51PM -0200, Augusto > Cesar de Oliveira Morgado wrote: > > Algum feliz proprietario de um Maple ou similar > poderia me dar os valores dos > > somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1 > ate n. > > Antecipadamente grato. > > Morgado > > OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as > respostas. > > Outros já responderam a pergunta do Morgado, então > eu vou responder > a pergunta que o Morgado *não* fez, que é como > calcular estas coisas *sem* > usar o Maple. Estou quase copiando a seção 6.5 do > Matemática Concreta, > de Graham, Knuth e Patashnik que fala de números de > Bernoulli. > > Escreva S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m. > Não é difícil provar que > > S_m(n) = (1/(m+1)) SOMA_{0 <= k <= m} > binomial(m+1,k) B_k n^{m+1-k} > > onde B_k são os números de Bernoulli, com valores > iguais a > 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, > 0, -691/2730, ... > e que podem ser definidos por > > z/(e^z - 1) = SOMA_{n >= 0} B_n z^n/n!. > > Usando a fórmula para S_m, não é difícil montar uma > tabela de coeficientes. > > S_0(n) = n > S_1(n) = 1/2 n^2 - 1/2 n > S_2(n) = 1/3 n^3 - 1/2 n^2 + 1/6 n > S_3(n) = 1/4 n^4 - 1/2 n^3 + 1/4 n^2 + 0 n > S_4(n) = 1/5 n^5 - 1/2 n^4 + 1/3 n^3 + 0 n^2 - 1/30 > n > S_5(n) = 1/6 n^6 - 1/2 n^5 + 5/12 n^4 + 0 n^3 - 1/12 > n^2 + 0 n > > Em cada coluna, os coeficientes são dados por uma > fórmula bem simples: > uma constante misteriosa (o número de Bernoulli) > vezes um binomial. > Por exemplo, o coeficiente de n^(m+1) é 1/(m+1), o > de n^m é -1/2, > o de n^(m-1) é (1/(m+1)) binomial(m+1,2) B_2 = m/12, > o de n^(m-2) é 0, > o de n^(m-3) é (1/(m+1)) binomial(m+1,4) B_4 = > -m(m-1)(m-2)/720 > e o de n^(m-4) é 0. Ajuda muito saber que B_n = 0 > para n ímpar e maior que 1. > Mas o fato é que esta tabela triangular nos dá a > cada passo o novo B_n, > basta usar o fato óbvio que S_m(1) = 0 para m > 0. > > []s, N. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =========================================================================.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ______________________________________________________________________ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================