Nicolau, A fórmula que você citou não seria a fórmula de Faulhaber?
http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html Além disso, os sinais dos termos na "segunda coluna", ou muito me engano, ou são *positivos*: S_0(n) = n S_1(n) = 1/2 n^2 + 1/2 n S_2(n) = 1/3 n^3 + 1/2 n^2 + 1/6 n S_3(n) = 1/4 n^4 + 1/2 n^3 + 1/4 n^2 + 0 n S_4(n) = 1/5 n^5 + 1/2 n^4 + 1/3 n^3 + 0 n^2 - 1/30 n S_5(n) = 1/6 n^6 + 1/2 n^5 + 5/12 n^4 + 0 n^3 - 1/12 n^2 + 0 n ... Abraços, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, March 30, 2004 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8 Outros já responderam a pergunta do Morgado, então eu vou responder a pergunta que o Morgado *não* fez, que é como calcular estas coisas *sem* usar o Maple. Estou quase copiando a seção 6.5 do Matemática Concreta, de Graham, Knuth e Patashnik que fala de números de Bernoulli. Escreva S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m. Não é difícil provar que S_m(n) = (1/(m+1)) SOMA_{0 <= k <= m} binomial(m+1,k) B_k n^{m+1-k} onde B_k são os números de Bernoulli, com valores iguais a 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ... e que podem ser definidos por z/(e^z - 1) = SOMA_{n >= 0} B_n z^n/n!. Usando a fórmula para S_m, não é difícil montar uma tabela de coeficientes. S_0(n) = n S_1(n) = 1/2 n^2 - 1/2 n S_2(n) = 1/3 n^3 - 1/2 n^2 + 1/6 n S_3(n) = 1/4 n^4 - 1/2 n^3 + 1/4 n^2 + 0 n S_4(n) = 1/5 n^5 - 1/2 n^4 + 1/3 n^3 + 0 n^2 - 1/30 n S_5(n) = 1/6 n^6 - 1/2 n^5 + 5/12 n^4 + 0 n^3 - 1/12 n^2 + 0 n Em cada coluna, os coeficientes são dados por uma fórmula bem simples: uma constante misteriosa (o número de Bernoulli) vezes um binomial. Por exemplo, o coeficiente de n^(m+1) é 1/(m+1), o de n^m é -1/2, o de n^(m-1) é (1/(m+1)) binomial(m+1,2) B_2 = m/12, o de n^(m-2) é 0, o de n^(m-3) é (1/(m+1)) binomial(m+1,4) B_4 = -m(m-1)(m-2)/720 e o de n^(m-4) é 0. Ajuda muito saber que B_n = 0 para n ímpar e maior que 1. Mas o fato é que esta tabela triangular nos dá a cada passo o novo B_n, basta usar o fato óbvio que S_m(1) = 0 para m > 0. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================