Rogério, como você pode perceber (abaixo)..infelizmente não consegui ler nada na sua msg...
Daniel S. Braz ============================== --- Rogério_Moraes_de_Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olá Daniel, > > Muitos dos problemas que envolvem expressões com > radicais duplos podem ser resolvidos facilmente > quando são realizadas as reduções para > expressões com radicais simples equivalentes. > Existe uma fórmula para a redução, mas o > importante é entender como deduzi-la, pois o > raciocÃnio é muito simples. > > Redução de radicais duplos em radicais simples > equivalentes > ----------------------------------------------------------- > Dada a expressão com radicais duplos √(a + √b), > com a e b racionais, √b irracional e a + √b > positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais > positivos tais que: √(a + √b) = √x1 + √x2. > > Observe que de acordo com as condições dadas, > ambos os membros da igualdade são positivos. > Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do > primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos > os membros ao quadrado garantindo que a volta > continua válida. > [√(a + √b)]² = (√x1 + √x2)² > a + √b = x1 + 2√x1√x2 + x2 > a + √b = (x1 + x2) + √(4.x1.x2) > > Sendo a, b, x1 e x2 racionais e √b irracional, a > igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos: > x1 + x2 = a > 4.x1.x2 = b <=> x1.x2 = b/4 > > Portanto, x1 e x2 são raÃzes da seguinte equação > quadrática: > x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 <=> x² - ax + b/4 = 0 > > Calculando o discriminante, encontramos: > Δ = (-a)² - 4.1.(b/4) <=> Δ = a² - b > > Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser > reduzida a radicais simples se o discriminante (a² > - b) for um quadrado de um racional. Se esta > condição for satisfeita, teremos: > x1 = [-(-a) + √(a² - b)] / 2 = [a + √(a² - b)] > / 2 > x2 = [-(-a) - √(a² - b)] / 2 = [a - √(a² - b)] > / 2 > Ou vice-versa. > > Conclusão: > A expressão com radicais duplos √(a + √b), com > a e b racionais, √b irracional e a + √b > positivo, pode ser transformada em uma expressão > com radicais simples quando a² - b for um quadrado > de um racional. A transformação é dada pela > seguinte fórmula: > √(a + √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} + √{[a > - √(a² - b)] / 2} > > Analogamente, podemos demonstrar que a expressão > com radicais duplos > √(a - √b), com a e b racionais, √b irracional > e a - √b positivo, pode ser transformada em uma > expressão com radicais simples quando a² - b for > um quadrado de um racional. A transformação é > dada pela seguinte fórmula: > √(a - √b) = √{[a + √(a² - b)] / 2} - √{[a > - √(a² - b)] / 2} > > > Resolução do problema proposto: > ------------------------------- > Simplifique a expressão: > (2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) / > [√2 - √(2 - √3)] > > Vamos verificar se é possÃvel reduzir as > expressões com radicais duplos para expressões com > radicais simples. > Na expressão √(2 + √3), temos a = 2 e b = 3. > Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é o quadrado de um > racional (1 = 1²), a transformação é possÃvel. > √(2 + √3) = √[(2 + 1) / 2] + √[(2 - 1) / 2] > = √(3/2) + √(1/2) = √3/√2 + 1/√2 > Analogamente, teremos: > √(2 - √3) = √3/√2 - 1/√2 > > Logo: > (2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + (2 - √3) / > [√2 - √(2 - √3)] = > = (2 + √3) / [√2 + (√3/√2 + 1/√2)] + (2 - > √3) / [√2 - (√3/√2 - 1/√2)] = > = (2 + √3) / [(2 + √3 + 1)/√2] + (2 - √3) / > [(2 - √3 + 1)/√2] = > = √2(2 + √3) / (3 + √3) + √2(2 - √3) / (3 > - √3) = > = [√2(2 + √3)(3 - √3) + √2(2 - √3)(3 + > √3)] / [(3 + √3) (3 - √3)] = > = [√2(6 - 2√3 + 3√3 - 3) + √2(6 + 2√3 > -3√3 - 3)] / (9 - 3) = > = √2[(3 + √3) + (3 - √3)] / 6 = 6√2 / 6 = > √2 > > Portanto, a expressão simplificada é igual a √2. > > Atenciosamente, > > Rogério Moraes de Carvalho > > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of > Daniel Silva Braz > Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18 > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: [obm-l] Problemas com radicais - > CORRIGINDO!! > > corrigindo o primeiro problema...mandei o problema > errado... > > (2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 - > sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3))) > > Daniel S. Braz > > ______________________________________________________________________ > > Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. > Instale agora! > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ______________________________________________________________________ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. 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