Caro Rogério, Eu não consegui entender o que você não entendeu: qual seria o objetivo de um comentário a não ser emitir uma opinião que pode ou não ter algum fundamento? Não me queira mal, por favor. Você nem sequer precisaria ter mutilado o meu minúsculo comentário para comentá-lo... Não, você não escreveu que 'a' e 'b' deveriam ser distintos e, em momento algum, disse que o havia feito. Salientiei, e espero que você tenha compreendido, que o trecho escrito por você estava entre aspas. Sim, você me deu um contra-exemplo sobre o qual eu não havia pensado e que eu encaminharei para o autor do livro que escreveu esses absurdos.
Tudo esclarecido? Espero que sim. Obrigado, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: "Rogério Moraes de Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, April 15, 2004 12:36 PM Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Ola Rafael, Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios. De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte. Seu comentario: --------------- "Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional.". Meu comentario: --------------- No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e' consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e multiplicacao do conjunto dos numeros racionais. Seu comentario: --------------- "Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional." Meu comentario: --------------- Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo, segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e' falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b = (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) = 3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será irracional esta' errada. Seu comentario: --------------- "Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo." Meu comentario: --------------- Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros. No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 - b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9) = 2/3. Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como segue: sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2] sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2) De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao. Abracos, Rogério Moraes de Carvalho ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================