Hah uns 15 dias o colega Gabriel Haeser enviou 2 problemas para a lista. parece-me que o segundo ainda naum foi respondido. Vou tentar.
> 2) Mostre que em um espaço métrico normado, se > convergência absoluta implicar > convergência então o espaço é completo (de Banach) Estou suponndo que o espaco metrico em questao eh um espaco vetorial normado. Sejam X um espaco conforme citado, com norma ||, e {x_m} uma sequencia de Cauchy de X. Para todo eps>0, existe entao um natural k (dependente de eps) tal que ||x_m - x_n|| < eps para todos naturais m,n>=k. Pela desigualdade triangular, se m,n>=k, entao | ||x_m|| - ||x_n|| | <= ||x_m - x_n|| < eps, do que deduzimos que ||x_m|| eh uma sequencia de Cauchy de R. Como R eh completo, {||x_m||} eh convergente e, como em X convergencia absoluta implica convergencia, segue-se que {x_m} tambem eh. Logo, toda sequencia de Cauchy de X converge com relacao aa metrica induzida por ||, do que deduzimos que X eh Banach. Interessante observar que a reciproca naum eh verdadeira. R eh um espaco de Banach, mas o fato de {|x_n|} convergir em R naum signfica que {x_n} tambem convirja. Um detalhe: Por convergencia absoluta, interpretei convergencia absoluta de sequencias gerais, e naum de series. Se o enunciadao se referir a series, aih a prova, se a afirmacao continuar verdadeira (nao pensei) torna-se mais complicada. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Photos: High-quality 4x6 digital prints for 25¢ http://photos.yahoo.com/ph/print_splash ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================