Chicao Valadares wrote:
Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:
1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de
K é soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição é um quadrado.
veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x - y) = 0 <=>
x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do cancelamento)
<=> x = +/-y
então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá pra mostrar que
isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu deixo pra vc.
2-Seja n>=2 natural.Mostre a equivalencia das
condiçoes:
i) -1 é um quadrado em Zn.
ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1 mod
4 , e_p={0,1}, w um natural.
Notaçao:
e_p-> Expoente de p Prod_k=1_n(s)-> Produtorio de k=1 a n dos elementos de
s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em p^(e_p)).
3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod 4.Mostre que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i] conjugados de norma p.Como isso se expressa em termos do numero de representaçoes de p como soma de 2 quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2????
4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2, sendo
a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2 admite
somente as soluçoes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
tá isso tudo você vai encontrar no seguinte livro: Introduction to the Theory of Numbers, do Hardy
a leitura não é das mais simples mas as suas questões também não são bobas...
este livro demonstra quem são os primos em Z[i] e a partir daí você pode matar suas dúvidas, em especial, o item 4 vai sair bem fácil.
[ ]'s
Domingos. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
