Domingos Jr. wrote:
Chicao Valadares wrote:
Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:
1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de
K é soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição é um quadrado.
veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x - y) = 0 <=>
x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do cancelamento)
<=> x = +/-y
então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá pra mostrar que
isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu deixo pra vc.
putz, esqueci de argumentar porque isso mata o problema...
além disso, não precisa provar nada pra ver que o número de quadrados é exatamente (q - 1)/2 (sem contar o 0), pois é claro que todos os quadrados foram contados!
deixa eu tentar me redimir! claramente x^2 = x^2 + 0^2, então pra quadrados a afirmação é trivial.
fixe um elemento a em K,
a^2 + b^2 não pode ser quadrado para todo b em K^*, caso contrário teríamos mais de (q-1)/2 quadrados.
sendo assim seja z um não-quadrado.
dá pra ver que para todo par de não-quadrados c, d, temos que cd é um quadrado... a idéia é utilizar contagem.
veja que o produto de quadrados é claramente um quadrado e o produto de um quadrado e um não-quadrado é não quadrado, pois se
x^2*z = y^2 <=> z = y^2 *(x^(-1))^2 <= (y.x^(-1))^2 <=> z é quadrado.
então, para todo y não quadrado, temos que existe um x, com x^2 = y.z^(-1) <=> y = z.x^2 <=> y = (a^2 + b^2)x^2 = (xa)^2 + (bx)^2
game over!
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