on 12.10.04 18:09, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Abaixo, segue um problema legal: > > > > Problema > > Num corredor, existem 100 armários em fila, numeradas de 1 até 100. Um > pintor vem e pinta todas os armários de vermelho. Em seguida, vem um segundo > pintor e pinta de azul os armários de três em três, começando do armário > número 3. A seguir, vem um terceiro pintor e pinta de vermelho os armários > de cinco em cinco, começando no armário de número 5 (ele pinta de vermelho, > mesmo que o armário já seja vermelho). Em seguida, vem um quarto pintor e > pinta de azul os armários de sete em sete, começando no armário 7. A > seguir, vem um quinto pintor, e assim por diante, alternando a pintura > vermelha, azul, até o pintor de número 50. > > No final, quantos armários são vermelhos? > > As pinturas vermelhas sao multiplas de 1, 5, 9, 13, ..., 97 (4k+1) As pinturas azuis sao multiplas de 3, 7, 11, 15, ..., 99 (4k+3)
A cor final de um dado armario eh a cor da ultima pintura que ele recebe e esta cor corresponde justamente ao maior divisor impar do numero do armario. Assim, o numero de armarios azuis eh igual ao numero de inteiros entre 1 e 100 (inclusive) cujo maior divisor impar eh da forma 4k+3. Estes numeros sao: 3, 7, 11, 15, ..., 95, 99 (25); 6, 14, 22, 30, ..., 86, 94 (25+12=37); 12, 28, 44, 60, 76, 92 (37+6=43); 24, 56, 88 (43+3=46); 48 (46+1=47) Logo, os armarios vermelhos sao em numero de 100 - 47 = 53. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================