Qual a sutileza na demonstração abaixo? >x^2 = x.x >x^2 = (x + x + ... + x + x) x vezes >Derivando ambos os lados temos que: >2x = (1 + 1 + ... + 1 + 1) x vezes >2x = 1 x >Portanto 2 = 1
Nao hah sutileza, hah um erro nada sutil. x nao eh uma variavel inteira. E se supusermos que x eh inteiro, o conceito de derivada perde o sentido. >Mostre que (cos (x^2)) nao eh uniformemente >continua. Definamos as sequencias a_n = raiz(2pi*n) + 1/raiz(n) e b_n = raiz(2pi*n), n=1,2... Entao a_n - b_n = 1/raiz(n) -> 0. Alem disto, cos((a_n)^2) = cos(2pi*n + 2raiz(2pi) + 1/n) = cos(2raiz(2pi) + 1/n). Logo, cos(a_n^2) -> cos(2raiz(2pi). Por outro lado, cos((b_n)^2) = cos(2pi*n) = 1. Segue-se que ((a_n)^2 - (b^n)^2) -> cos(2raiz(2pi) -1 ~= 0,2963 -1 <>0 Existem, portanto, sequencias a_n e b_n em R tais que a_n - b_n ->0 mas cos((a_n)^2) - cos((b_n^2)) nao tende a zero. Disto concluimos que cos(x^2) nao eh uniformemente continua (se f eh unif. continua em R e a_n - b_n -> 0, entao temos, necessariamente, que f(a_n) - f(b_n) ->0) ________________________________________________ OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================