on 18.10.04 12:40, Paulo Rodrigues at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Existem várias maneiras de resolver o 1. > > Uma delas está em http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?p=385#385 > OK. Mas essa foi mais ou menos a minha solucao. Voce conhece alguma mais simples, sem envolver a equacao de Pell, por exemplo?
Alem disso, serah possivel achar todos os inteiros n tais que n, n+1 e n+2 sao somas de quadrados? []s, Claudio. > ----- Original Message ----- > From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, October 18, 2004 9:55 AM > Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas > > >> Aqui vao dois que estao me dando uma canseira: >> >> 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2 > sao >> todos somas de dois quadrados de inteiros. >> >> 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh > uma >> raiz primitiva mod p. >> >> No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois >> quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece >> na decomposicao desse inteiro com expoente par. >> >> Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra > hipotese >> vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a >> presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar. >> >> Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o >> quadrado de um inteiro par. Isso resultou em: >> n = 4y^2 + 0^2 >> n+1 = 4y^2 + 1^2 >> n+2 = 4y^2 + 2. >> Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos: >> 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas >> solucoes, o que resolve o problema. >> >> No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples. >> Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima. >> Por exemplo: >> 72 = 6^2 + 6^2 >> 73 = 8^2 + 3^2 >> 74 = 7^2 + 5^2. >> Serah que eh possivel achar todas as solucoes? >> >> ***** >> >> No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro >> positivo, mas isso foi tudo que eu consegui. >> >> []s, >> Claudio. >> >> ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
