Sugiro uma variação do mesmo problema. Seja f(x) uma função contínua R->R, períodica de período p. Seja g(x) = f(u(x))
Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou se u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um período igual ao mmc entre p e p1, onde p1 é o período de u(x). Considere que p/p1 é racional. > > > Eu estou um tanto enrolado. O fato de que f(x^2 + > m*(2x+m)) = f(x^2) para > > todo real x tem que implicar que m*(2x+m) seja um > multiplo inteiro de p? > > > Eu diria que sim, já que f é periódica com período > fundamental p e x é arbitrário. > Repare que m*(2x + m) não precisa ser um múltiplo > constante de p mas, para todo x, m*(2x + m) precisa > ser igual a algum múltiplo inteiro de p e isso é > impossível, pois a função u:R -> R dada por u(x) = > m*(2x + m)/p é uma bijeção. Logo, não pode assumir > apenas valores inteiros. > > > h(x + u(x)) = h(x) para todo real x, sendo h e u > funcoes de x, implica que u > > tenha que ser constante e igual a algum periodo de > h? > > > Não. Por exemplo, tome h(x) = sen(x) e u(x) = > 2*Pi*piso(x). > > > Artur > > > > --------- Mensagem Original -------- > > De: [EMAIL PROTECTED] > > Para: "[EMAIL PROTECTED]" > > Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica > > Data: 03/11/04 17:04 > > > > Eu acho que g nao pode ser periodica. > > > > Suponha que g seja periodica com periodo > fundamental m > 0. > > Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==> > > f((x+m)^2) = f(x^2) ==> > > f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==> > > m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==> > > contradicao. > > > > []s, > > Claudio. > > > > _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================