on 07.01.05 11:11, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Oi, Nicolau e Artur: > >> Pelo que eu entendo, o axioma da escolha eh > necessario justamente > quando nao > existe uma forma obvia de se ordenar >> os .elementos de um conjunto. Voces >> concordam? > > Sim, acho que eh nesta linha, mas me parece que nao so com relacao a > ordenacao. Por exemplo, se tivermos que escolher um elemento em um intervalo > de R, que nao pode ser ordenado em ordem crescente nem decrescente, podemos > usar o seguinte processo bem definido: se o intervalo tiver pontos extremos > reais, escolhemos o seu ponto medio; se um dos pontos extremos for + ou - > infinito e outro for um real r, escolhemos + = - 0,9 r, conforme r seja > positivo ou negativo; e se o intervalo for o proprio R, escolhemos 0. > Existem eh claro uma infinidade e outros processos bem definidos que evitam > o que se chama de escolha arbitraria (bom, pode aperecer alguem que diga que > se usou o axioma da escolha porque se escolheu arbitrariamente um processo > no conjunto infinito de processos.....) > Pensando melhor, eu deveria ter dito BEM-ORDENAR os elementos de um conjunto (de forma que todo subconjunto nao vazio desse conjunto tenha um menor elemento). Mas acabei de me lembrar que o axioma da escolha eh equivalente ao principio geral da boa ordenacao, que diz que todo conjunto pode ser bem ordenado. Agora, exibir uma tal boa-ordenacao de R sao outros 500...
>> Por exemplo, quando lidamos com algum > subconjunto A de N o > axioma da escolha > nao eh necessario pois podemos sempre escolher >> o menor elemento de A, digamos a1, que existe > por causa do principio > da boa ordenacao, o qual > eh independente do axioma da escolha (acho eu!). > > Eu acho que eh independente sim. > >> Em seguida do axioma da escolha (acho eu!). Em > seguida do axioma da > escolha (acho eu!). Em > seguida, escolhemos o menor elemento de A - > {a1}, etc. > > Tem uma ilustracao famosa do axioma da escolha, devida a Betrand Russel, se > nao me engano, que diz o seguinte: o axioma da escolha eh necessario para se > escolher uma meia de um conjunto infinito de pares de meias, mas nao para se > escolher um sapato de um conjunto infinito de pares de sapato. > > Eh do Bertrand Russel sim. > > Um ponto que sempre me intrigou e que quem nao aceita o Axioma da escolha > nao pode aceitar praticamente nenhuma das provas referentes a espacos > metricos ou topologicos gerais. Por exemplo, quase todas a sprovas sobra > compaticidade em espacos metricos ou mesmo topologicos gerais beaseiam em > escolhas infinitas e arbitraris, de elementos, coberturas, etc. No fim das contas, acho que quase todo mundo prefere uma demonstracao construtiva. Soh que, infelizmente, ela nao existe pra maior parte dos teoremas interessantes. Entao, a unica alternativa eh aceitar uma demonstracao que mata a cobra mas NAO mostra o pau. Me parece que, hoje em dia, a maioria dos matematicos estah conformada com esta situacao e engole o axioma da escolha justamente porque nao tem escolha... []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================