on 03.03.05 11:21, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Thu, Mar 03, 2005 at 07:44:53AM -0300, cfgauss77 wrote: >> Gostaria de uma ajuda no seguinte problema ou que me indicassem uma >> literatura que me ajudasse no assunto. >> >> Demonstre que arcCos(3/5) é irracional. >> >> Posso afirmar corretamente que arcCos(r) ou arcSen(r), com r racional, sempre >> será um irracional? > > Será que você não quer dizer que arccos(3/5)/pi é irracional? > Se for isto, o seu problema é uma reformulação de uma questão > que caiu no vestibular do IME de 1980-81 e que já foi discutida > aqui mais de uma vez. O enunciado original era mais ou menos o seguinte: > > Seja z = (3+4i)/5. Prove que z não é raiz da unidade, ou seja, > que z^n não é igual a 1 para nenhum n. > > A solução mais curta e elementar que eu conheço é a seguinte. > Define z^n = (an + bn i)/(5^n). Assim > a0 = 1, b0 = 0 > a1 = 3, b1 = 4 > a2 = -7, b2 = 24 > ... > a(n+1) = an^2 - bn^2, b(n+1) = 2 an bn > > Agora é fácil provar por indução que an = 3 (mod 5) e bn = 4 (mod 4) > para todo n >= 1. Em particular, bn é diferente de 0 e z^n é diferente de 1. > > O problema como você escreveu também é correto mas eu não sei fazer > de forma elementar (mas também não tentei muito). Ele é um corolário > do teorema de Lindemann: > > Teorema: Sejam a1, a2, ..., am números algébricos distintos. > Então exp(a1), exp(a2), ..., exp(am) são linearmente independentes > sobre o corpo dos números algébricos. > > (Estou traduzindo de Irrational Numbers, Ivan Niven, > The Carus Mathematical Monographs, no. 11, MAA, capítulo 9.) > > Corolário: Se x é algébrico, x diferente de 0, então cos(x) é transcendente. > > Demonstração: Sejam a1 = 0, a2 = ix, a3 = -ix. > Temos cos(x) = (exp(a2) + exp(a3))/2. Se cos(x) fosse algébrico, > seria um múltiplo algébrico de 1 = exp(a1), contrariando > o teorema de Lindemann. > > Corolário do corolário: > Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional. > Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional. > > []s, N. > Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1. Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho que essas sao as unicos excecoes.
[]s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================