On Thu, Mar 03, 2005 at 12:41:00PM -0300, Claudio Buffara wrote: > > Corolário do corolário: > > Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional. > > Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional. > > > Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1. > Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho > que essas sao as unicos excecoes.
Acho que não estamos nos entendendo. Se r = 1/2 então arccos(r) é de fato múltiplo racional de Pi mas não era disso que eu estava falando na segunda parte da mensagem nem foi esta a pergunta original. O que eu disse é que arccos(r) é irracional para r racional, r diferente de 1, o que é correto exatamente como eu enunciei, sem outras exceções além de r=1. Por exemplo, arccos(0) = pi/2 é irracional pois pi é irracional. Se a pergunta for para quais racionais r temos que arccos(r) é um múltiplo racional de pi então a resposta é que isto ocorre exatamente para os valores que você listou: 0, +-1 e +-1/2. A prova disso é bem simples. Se x é racional então 2cos(pi x) = exp(i pi x) + exp(-i pi x) é um inteiro algébrico. Assim se cos(pi x) for racional, 2 cos(pi x) deve ser racional e inteiro algébrico, logo inteiro. Como -2 <= 2 cos(pi x) <= 2 devemos ter cos(x) = 0, +-1 ou +-1/2. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================