OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos isolados?  Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar da união dos intervalos.
Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n tal que isso nunca ocorra?
 
[]s,
Claudio.
 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300
Assunto: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh fechado, tem interior vazio e medida infinita
> Artur
>  
>  
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04
Para: obm-l
Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

> E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto seja fechado?
>  
> []s,
> Claudio.
>  
>
De: [EMAIL PROTECTED]
>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>
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>
Data: Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300
>
Assunto: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
> > Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero.
> >  
> > Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1.
> >  
> > A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional,  f(x) =1 /n se x = m/n  for racional, m e n>0 primos entre si.  Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais.
> >  
> > Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x<>0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x -> 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x -> 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 > 0.
> > Temos que 2*x*sen(1/x) => 0 quando x=> 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos.
> >  
> > Isto ilustra que f'(a) >0)  nao eh condicao suficiente para que a  seja ponto de crescimento de f. Dizemos que a  eh ponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente.
> >  
> > Artur 
> >
]  -----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

> > Oi, pessoal:
> >  
> > Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
> >  
> > Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio.
> >  
> > Outros dois bonitinhos são:
> > Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais.
> > e
> > Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) > 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem.
> >  
> > No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado?
> >  
> > []s,
> > Claudio.
> >  

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