> On 3/26/07, Leonardo Borges Avelino <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Calcule o limite: > > > > lim [cos(k/x)]^x x->infinito com k constante sem utilizar l'hospital > > ou série ou equivalência..... somente por limites fundamentais.. > > grato > > > > Leonardo Borges Avelino > >
Isso equivale a lim(t->0+) (cos(kt))^(1/t) Uma desigualdade fundamental (demonstrada via areas no circulo unitario, por exemplo - veja qualquer livro de calculo) eh: 0 < sen(x) < x, para x > 0 ==> 0 < sen^2(x) < x^2 ==> 1-x^2 < 1-sen^2(x) < 1 ==> 1-x^2 < cos^2(x) < 1 ==> (1-k^2t^2)^(1/t) < (cos(kt))^(2/t) < 1 Para 0 < t < 1/k (0 < kt < 1) (estou supondo spdg que k > 0), podemos usar a desigualdade de Bernoulli: 1 >= (1 - k^2t^2)^(1/t) >= 1 - (1/t)*k^2t^2 = 1 - k^2t ==> 1 >= lim(t->0+) (1 - k^2t^2)^(1/t) >= lim(t->0+) (1 - k^2t) = 1. Conclusao: (cos(kt))^(2/t) estah sanduichado entre duas funcoes cujo limite quando t->0+ eh 1. Logo, o limite procurado eh 1. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================