f(1) = f(1-0) = 1-f(0) = 1 f(1/3) = f(1)/2 = 1/2 f(2/3) = f(1-1/3) = 1-f(1/3) = 1-1/2 = 1/2 = f(1/3) ==> esta funcao nao eh crescente - pode ser no maximo nao-decrescente. Supondo que seja, prosseguimos... 1/3 <= x <= 2/3 ==> f(x) = 1/2.
f(1/9) = f(1/3)/2 = 1/4 ==> f(8/9) = 3/4 f(2/9) = f(2/3)/2 = 1/4 ==> f(7/9) = 3/4 Logo, 1/9 <= x <= 2/9 ==> f(x) = 1/4 3/9 <= x <= 6/9 ==> f(x) = 2/4 7/9 <= x <= 8/9 ==> f(x) = 3/4. f(1/27) = f(1/9)/2 = 1/8 ==> f(26/27) = 7/8 f(2/27) = f(2/9)/2 = 1/8 ==> f(25/27) = 7/8 f(7/27) = f(7/9)/2 = 3/8 ==> f(20/27) = 5/8 f(8/27) = f(8/9)/2 = 3/8 ==> f(19/27) = 5/8 Logo, 1/27 <= x <= 2/27 ==> f(x) = 1/8 3/27 <= x <= 6/27 ==> f(x) = 2/8 7/27 <= x <= 8/27 ==> f(x) = 3/8. 9/27 <= x <= 18/27 ==> f(x) = 4/8 19/27 <= x <= 20/27 ==> f(x) = 5/8 21/27 <= x <= 24/27 ==> f(x) = 6/8 25/27 <= x <= 26/27 ==> f(x) = 7/8 A esse ponto, parece claro que estamos lidando com sub-intervalos de [0,1] da forma [m/3^k,n/3^k]. 18 = 2*3^2 e 2*3^6 = 1458 < 1991 < 2187 = 3^7 ==> 2/3^5 < 18/1991 < 1/3^4 ==> temos que achar f(2/3^5) e f(1/3^4). f(2/3^5) = f(2/3^4)/2 = f(2/3^3)/4 = (1/8)/4 = 1/32 f(1/3^4) = f(1/3^3)/2 = (1/8)/2 = 1/16 = 2/32 ==> 1/32 <= f(18/1991) <= 1/16. Logo, temos que melhorar nossa aproximacao de 18/1991 por meio de fracoes da forma n/3^k. Sabemos que 2/3^5 < 18/1991 < 3/3^5. E quanto a 3^6? 18/1991 = x/3^6 ==> x = 18*729/1991 ==> 6 < x < 7. f(6/3^6) = f(2/3^5) = 1/32 f(7/3^6) = f(7/3^5)/2 = f(7/3^4)/4 = f(7/3^3)/8 = 3/64. Ainda nao foi suficiente... 18/1991 = x/3^7 ==> x = 18*2187/1991 ==> 19 < x < 20 f(19/3^7) = f(19/3^3)/2^4 = (5/8)/16 = 5/128 f(20/3^7) = f(20/3^3)/2^4 = (5/8)/16 = 5/128 = f(19/3^7) Conclusao: f(18/1991) = 5/128. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 29 Mar 2007 22:46:18 -0300 Assunto: [obm-l] Funcoes > Oi, > > Eu pedi ajuda nesse problema mas nao chegou o email, entao to mandando de > novo, desculpem se chegar duas vezes. > > Seja f uma funcao crescente definida para todo numero real x, 0 <= x <= 1, > tal que f(0)=0, f(x/3)=f(x)/2 e f(1 - x)=1 - f(x). Encontre f(18/1991). > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================