Aqui vai uma outra solução bem interessante para a integral I = int(0-->+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx.
Ela se baseia na observação de que arctan(pi.x) - arctan(x) eh a integral de 1/(t^2+1) de x até pi.x (*). Logo, a integral pedida pode ser calculada como um integral dupla: I = Integral Dupla_x=0..oo_t=x..pix_(dtdx/(t^2+1)/x) Trocando a ordem de integracao, I = Integral Dupla_t=0..oo_x=t/pi..t_(dxdt/(t^2+1)/x) E agora é fácil, pois Integral_x=t/pi..t_(dx/x) = lnt-ln(t/pi) = ln(pi) eh constante, implicando I = ln(pi)*Integral_t=0..oo_(dt/(t^2+1)) = ln(pi)*pi/2 pela observacao *. Abracos, Marcio Cohen On 4/5/07, Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Buenas, Vamos começar pela fórmula da integral por partes: int(a..b)(u dv) = uv(b)-uv(a) -int(a..b)(v du) No caso, temos: u = arctan(pi.x) - arctan(x) v = ln(x) int(0..+oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = lim(x->oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - lim(x->0)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - int(0..oo)( (Pi/(1+Pi^2*x^2)-1/(1+x^2) )*ln(x)) dx O segundo limite é zero (basta olhar a expansão de taylor para arctan(x)). O primeiro limite também é zero. Uma forma de ver pode ser: (arctan(pi.x) - arctan(x))*ln(x) = (arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) lim(x->oo) ((arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) = LHospital => lim(x->oo) (( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x)^2*x ) = 0 Então ficamos com: int(0..+oo)( ( arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = int(0..oo)( -f(x) ) dx, Onde: f(x) = ( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x) Agora vamos considerar a integral tomada entre -oo e +oo, e lembrar que, para x E R>0, ln(-x)=ln(x)+i*Pi. Assim: int(-oo..+oo)(f(x)) dx = 2*int(0..oo) f(x) dx + i*Pi*int(0..oo) Pi/(1+Pi^2*x^2) -1/(1+x^2)) dx Bem, int(-oo..+oo) f(x) dx pode ser calculada por resíduos. Depois, vc toma a parte real para calcular int(0..oo) f(x) dx => f(x) tem dois pólos no semiplano complexo z=x+i*y com y>0, que são: z=i e z=i/Pi. Res(z=i) = lim( x->i ) ( f(x)*(x-i) ) = -Pi/4 Res(z=i/Pi) = lim( x->i/Pi )( f(x)*(x-i/Pi) ) = Pi/4 +i/2*ln(Pi) int(-oo..+oo) f(x) dx =2*Pi*i*( -Pi/4+Pi/4+i/2* ln(Pi)) int(-oo..+oo) f(x) dx = -Pi*ln(Pi) A integral pedida é então: int(0..+oo) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx = int(0..oo) -f(x) dx = 1/2 * Pi * ln(Pi) []´s Demetrio --- BRENER <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola, gostaria de uma ajudinha na integral > > int(0-->+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx