Essa solução é bem curta. Primeiramente, vamos observar que cos(n) é uma sequência pouco amigável. Mas... cos(n) é a parte real de exp(n*i), ou exp(i)^n, que é bem mais tratável.
Assim definimos: S1 = Soma(n=1..oo) cos(n)/n = cos(1) + cos(2)/2 +cos(3)/3 +cos(4)/4... S1c = Soma(n=1..oo) exp(n*i)/n = exp(i) + exp(2*i)/2 +exp(3*i)/3 +exp(4*i)/4...=> S1 = Re( S1c ) , onde Re( ) denota parte real. S1c = exp(i) + exp(2*i)/2 +exp(3*i)/3 +exp(4*i)/4... S1c = exp(i) + exp(i)^2/2 +exp(i)^3/3 +exp(i)^4/4... Bem, está quase acabado, porque o que resta agora e perceber a semelhança entre S1c e a expansão de taylor para -ln(-x+1): -ln(-x+1) = x +x^2/2 +x^3/3 +x^4/4 +x^5/5.... => -ln(-exp(i)+1) = exp(i) + exp(i)^2/2 +exp(i)^3/3 +exp(i)^4/4... = S1c S1 = Re( S1c ) = Re( -ln(-exp(i)+1) ) Lembrando que a parte real do log de um número complexo é o log de seu módulo: S1c = -ln(-(cos(1)+i*sin(1))+1) => S1 = -1/2*ln( (1-cos(1))^2+sin(1)^2) S1 = -1/2*ln(cos(1)^2-2*cos(1)+1+sin(1)^2) S1 = -1/2*ln(2-2*cos(1)) S1 = -1/2* (ln(2) +ln(1-cos(1))) ~= 0.0420195059 A solução de: S2= Soma(n=1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n = cos(1) - cos(2)/2 +cos(3)/3 -cos(4)/4... é idêntica: S2 = 1/2* (ln(2) +ln(1+cos(1))) ~= .5625629402 Ainda dá pra dizer que, de forma análoga, pode-se obter pelo menos mais duas séries emblemáticas: Soma(n=1..oo) exp(-n)/n = exp(-1) + exp(-2)/2 +exp(-3)/3 +exp(-4)/4... = -ln(-exp(-1) +1) Soma(n=1..oo) exp(-n)/n*(-1)^(n+1) = exp(-1) - exp(-2)/2 +exp(-3)/3 -exp(-4)/4... = ln(exp(-1) +1) []´ Demetrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Olá Ronaldo. > > --- ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Você quer o valor da soma das séries? > > Sim. > > > Segunda-feira eu posto a solução. Se houver alguém > interessado no problema, observo que não é a mesma > coisa que calcular soma (n=1..oo) sin[n]/n. Eu > inclusive não consegui fazer por séries de Fourier > > []'s Demétrio > > > > > Demetrio Freitas wrote: > > > > > Olá, > > > > > > Problemas semelhantes (mas não iguais) ao > > anterior: > > > Calcule para onde convergem as séries abaixo. > > > > > > 1- Soma(n = 1..oo) cos(n)/n > > > > > 2- Soma(n = 1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n > > > > > > > > []´s Demetrio > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! > Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
