Soh que na realidade a série de Taylor de e^x eh a propria definicao de e^x. Para o cos, a maneira talvez mais rigorosa, valida inclusive no plano complexo, eh tambem considerar a definicao baseda em serie de potencias: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!.....a qual implica que o cosseno seja continua em R (em C). Outra forma de ver isso, talvez mais trigonometrica, eh considerar a identidade cos(x) - cos(y) = -2 sen((x +y/2)) sen((x -y/2)). Para todos x e y de R, temos entao que | cos(x) - cos(y)| = 2 |sen((x +y/2)| |sen((x -y/2))| <= 2 |sen((x -y/2))| . Mas sabemos que |sen u | <= u para todo real u, de modo que | cos(x) - cos(y)| <= 2 |(x-y)/2| = | x - y|. Isto nos mostra que cos eh Lipschitz com constante 1, logo uniformemente continua, logo continua em todo R. A desigualdade |sen (u)| <= u pode ser obtida geometricamente do circulo unitario, desde que se aceite a Geometria Euclidiana. Ou entao, de forma talvez mais rigorosa, considerando-se series de potencvia e o teorema do valor medio.. Artur
[Artur Costa Steiner] -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite Valeu Marcelo , Eu havia pensado em fazer assim : Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de > taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar > isso. Mas sua solução é mais adequada ... abs. Outra coisa , como eu provo que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ?? agradeço a resposta . Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato < [EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0) existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x->0] f(x) = f(0), portanto: lim [x->0] e^x = 1 outro modo seria: -delta < x < delta.... e^(-delta) < e^x < e^(delta) ... e^(-delta) - 1 < e^x - 1 < e^(delta) - 1 assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta implica que |e^x - 1| < eps abracos, Salhab On 6/28/07, Kleber Bastos < [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > wrote: > Como eu faço para provar a seguinte afirmativa : > lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero . ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================