Aqui hah um ponto que devemos observar. Se consideramos as funcoes seno e cosseno definidas por series de potencias, a continuidae e diferenciabilidades de todas as ordens sao consequencias imediatas da definicao. Se consideramos a definicao baseada no circulo trigonometrico, a continuiddae, assim como a diferenciabilidade soa consequencias fundamentais da desigualdade |sen(u)| <= |u| com igualdade se, e somente se, u =0, bem como de identidas trigonometricas, como sen(x) - sen(y) = 2 sen((x - y)/2) cos((x + y)/2) . Aquela prova que eu dei eh mas geral, mostra que sen e cos sao Lipschitz
Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite Olá Sallab, sua solução é simples e elegante e pode ser usada para outras demonstrações do mesmo gênero, que podem aparecer em provas. Só comentando: > outro modo seria: > -delta < x < delta.... e^(-delta) < e^x < e^(delta) Isso é válido porque e^x é monótona crescente para todo x, isto é, se x_1 > x_2 então e^(x_1) > e^(x_2). Verificamos isso por inspeção, porque e>1. A rigor, analiticamente, não sei se existe um modo de demonstrar isso sem uso de derivadas. Existe? > assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps > Note que esta passagem também é valida porque quando fazemos max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1} pegamos sempre números positivos. Isso ocorre porque existe delta tal que e^delta > 1 sempre. Em demonstrações de limites mais complicados às vezes não é tão simples fazer essa passagem porque essa garantia (positividade de eps a partir da função) não é tão fácil de obter. > logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta > implica que |e^x - 1| < eps > abraços Ronaldo. > ============================================================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================