Oi Paulo, Desculpe-me por criticar uma solução incompleta, mas se eu bem entendi a sua solução acho que você erra ao considerar equiprováveis as várias soluções de X1 + ... + X365 = 200.
Para não nos perdermos, aqui vai de novo o problema original: > Imagine-se num grupo de 200 pessoas, e imagine que todos os anos tenham 365 > dias (isto é: ignore a existência de anos bissextos). Seja f: {dias} -> N > tal que f(d) = número de aniversariantes no dia d. Seja d_0 o dia de seu > aniversário. Qual é a probabilidade de que f(d_0) seja um máximo da > função f? Vamos trocar os números: são duas pessoas e o "ano" tem 3 dias. Temos as possibilidades: (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) mas elas *não* são equiprováveis! As três primeiras têm probabilidade 1/9 cada e as três últimas probabilidade 2/9 cada. Entendo que o "você" do problema não é membro do grupo de pessoas. A probabilidade de que f(d_0) seja um máximo nada mais é do que a prob de que X1 seja máximo que é de 5/9, correspondente aos casos (2,0,0), (1,1,0) e (1,0,1). Observe que nestes dois últimos casos f(d_0) é um máximo empatado com outro máximo. Isto coincide com a sua solução? []s, N. On Mon, Jul 09, 2007 at 04:50:46PM -0300, Paulo Santa Rita wrote: > Ola Pessoal, > > Tentarei fazer um esboco melhor. Os detalhes voces preenchem. Como > estou escrevendo ao mesmo tempo que faco outras coisas, pode haver > algum erro de calculo, corrijam por favor. Para facilitar o > entendimento da minha solucao vou resolver previamente uma outra > questao. Considere a equacao : > > X1 + X2 + X3 = 12 > > Quantas solucoes inteiras e não-negativas tem esta equacao tais que > para todo i=1,2,3 tenhamos Xi =< 7 ? Facil. Seja Yi= 7 – Xi, i=1,2,3. > Segue que Xi = 7 – Yi. Daqui : > > (7-Y1) + (7-Y2) + ( 7-Y3) = 12 => Y1 + Y2 + Y3 = 9 > > E facil encontrar quantas solucoes inteiras e não negativas tem esta > ultima equacao. Existe ate uma formulazinha que da o valor direto. E > igualmente facil perceber que a toda solucao desta ultima equacao > corresponde uma, e somente uma, solucao para a equacao original. > Assim, a questao original esta respondida e e facilmente generalizavel > para um numero arbitrario de incognitas ... > > Voltando ao problema original, seja Xi o numero de pessoas que fazem > aniversario no dia i, i podendo variar no intervalo 1 =< i =< 365. > Assim, qualquer configuracao possivel pode ser imaginada como uma > solucao inteira não-negativa da equacao : > > X1 + X2 + ... + X365 = 200 > > Queremos saber em quantas destas solucoes o valor de Xi e maximo. Seja > Xi um valor arbitrario A tal que 1 =< a =< 200. Entao : > > Xi = A => X1 + X2 + ... + A + ... + X365 = 200 > X1 + X2 + ... + Xi-1 + Xi+1 + ... + X365 = 200 – A > > Procuramos as solucoes inteiras e não negativas desta ultima equacao > para as quais tenhamos Xk =< A, coisa que já aprendemos a fazer la em > cima. Fazendo "A" variar de 1 ate 200 e somando tudo chegamos ao total > de solucoes nas quais no dia "i" ocorreu um maximo. Seja T este total. > Agora, achamos o total de solucoes inteiras e não-negativas da equacao > : > > X1 + X2 + ... + X365 = 200 > > Seja V o total de solucoes. A probabilidade procurada e T/V. > > FIM DO PRIMEIRO ESBOCO > > > > > Para que o problema fique consistente, vou supor que apenas 7 homens e > 4 mulheres são simultameamente fluentes em frances e Phd em > Matematica. O total de comissoes possivel e, obviamente : > > T = BINOM(53,10) * BINOM(47,10) > > 1) NO MAXIMO 7 PESSOAS SAO FLUENTES EM FRANCES > > Deste total vou retirar todas as comissoes nas quais no maximo 7 > pessoas são fluentes em frances. Para ver como e possivel fazer isso, > considere o par (H,M) onde H+M = 7, H e o total de homens e M o total > de mulheres fluentes em frances : > > (H1,M1)=(7,0) => U1= BINOM(28,3)*BINOM(25,7)*BINOM(43,10) > (H1,M1)=(6,1) => U2=BINOM(28,4)*BINOM(25,6)*BINOM(43,9)*BINOM(4,1) > ... > (H1,M1)=(3,4) => U5= ... ( complete aqui) > > Agora consideramos o caso em que H+M = 6. Seguira um montao de > calculos. Depois consideramos o caso em que H+M=5 e assim > sucessicamente. No final calculamos o somatorio de todos os Ui > > 2) NO MAXIMO 10 PESSOAS SAO PHD EM MATEMATICA > > (H2,M2)=(10,0) => V1=BINOM(37,10)*BINOM(26,10) > (H2,M2)=(9,1) => V2=BINOM(21,1)*BINOM(32,9)*BINOM(21,1)*BINOM(26,9) > ... (complete aqui) > > e aqui fazemos um raciocinio absolutamente semelhante ao caso acima. > No final calculamos o somatorio de todos os Vi > > A unica pergunta não obvia e a seguinte : quantas comissoes existem > tais que, simultaneamente, existam no maximo 7 pessoas fluentes em > frances e no maximo 10 pessoas com Ph"D" em Matematica ? Se existe > alguma inteligencia neste problema ela esta aqui. O resto que vimos > acima e trivial e truculento. > > Se a resposta a pergunta e "nao", entao a resposta ao nosso problema e : > > R = T – somatorio Ui - somatorio Vi > > Se a resposta for "sim", seja W o total de comissoes nesta condicoes. > Entao a resposta ao nosso problema e : > > R = T – somatorio Ui - somatorio Vi + W > > Eu afirmo que a resposta e "nao". Para ver isso claramente, consideremos : > > A -> homens que so dominam matematica > B->homens que so dominam frances > C-> homens que dominam frances e matematica > > D->mulheres que so dominam frances > E->mulheres que so dominam matematica > F-> mulheres que dominam frances e matematica. > > Queremos solucoes que : > > A+B+C =10 > D+E+F=10 > B+C+D+F =< 7 ( no maximo 7 pessoas dominam frances ) > A+C+E+F =< 10 ( no maximo 10 ph"D" em matematica ) > > somando as duas ultimas equacoes ( e considerando o valor das duas > primeiras ) : > > 20 + C + F =< 17 ... ABSURDO ! Pois C >=0 e F >= 0 > > Assim, a resposta ao nosso problema e : > > R = T – somatorio Ui - somatorio Vi > > FIM DO SEGUNDO ESBOCO > > A todos, com os melhores > votos de paz profunda, sou > Paulo Santa Rita > 2,1604,090707 > > > Em 09/07/07, Paulo Santa Rita<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >Ola Artur e demais colegas > >desta lista ... OBM-L, > > > >O primeiro problema ( das comissoes com 10 homens e 10 mulheres ) me > >parece impossivel por combinatoria ou por qualquer outro metodo > >simplesmente porque e inconsistente : 21 + 25 + 12 = 57 > 53 ... O > >mesmo para as mulheres ! Se nao fosse essa limitacao e facil fazer por > >combinatoria. > > > >Quanto ao segundo, e trivial. Vou apenas esbocar a solucao. Por favor, > >complete os detalhes : > > > >X1, X2, ..., X365 sao os dias do ano. As solucoes inteiras nao negativas de > > > >X1 + X2 + ... + X365 = 200 > > > >podem ser vistas como as imagens da funcao f que voce cita. Assim, a > >titulo de exemplo, a solucao (200,0,0,...,0) significa que todas as > >pessoas fizeram aniversario no primeiro dia do ano. O numero de > >solucoes inteiras e nao-negativas da equacao acima e bem conhecido. > > > >Fixando-se, a titulo de exemplificacao, na variavel X1, precisamos > >determinar em quantas solucoes ela tem o valor maximo . Assim : > > > >Formato : (200,0,0,...,0) -> 1 solucao > >Formato : (199,1,0,...,0) -> 364 solucoes > >formato : (198,1,1,0,...,0) -> binom(264,2) -> solucoes > > > >Agora e so ir decendo ate 100, pois e impossivel algu outro dia ter > >mais que 100 aniversariantes dado que ha somente 200 pessoas. > > > >ABAIXO DE 100 : > > > >Solucoes com 99 na posicao 1 mas que ocupam 3 lugares, tipo > >(99,99,2,...,0) tambem satirsfazem as condicoes impostas. Isso da um > >total de binom(364,2), solucoes som 99 na posicao 1 e que ocupam 4 > >lugares, tipo (99,98,1,1,0,0,...,0) tambem satisfazem e assim > >sucessivamente. > > > >Fixado um Numero < 100 basta considerar os casos em que os dias nos > >quais nao ocorre aniversario impossibilita ocorrer um maximo em outro > >local diferente do primeiro. > > > >Agora retiramos do total de solucoes de X1 + X2 + ...+X365=200 as > >solucoes que tem maximo em X1 ( na primeira posicao ) isso da a > >probabilidade para o dia 1. Por simetria, vale para qualquer dia. > > > >O primeiro problema tambem e simples, mas trabalhoso. O total de comissoes > >e : > > > >T = BINOM(53,10)*BINOM(47,10) > > > >Agora basta retirar do total acima as comissoes impossiveis, tipo, > >todas aquelas nas quais no maximo 7 pessoas sao fluentes em frances ( > >facil de calcular ) e assim sucessivamente > > > >Um Abracao pra todos > >Paulo Santa Rita > >2,1201,090707 > > > > > > > > > > > >Em 02/07/07, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >> Eu resolvi este problema montando equacoes nas variaveis envolvidas e > >recorrendo a um algorimo de programacao inteira. Talvez haja uma solucao > >por analise combinatoria, mas me pareceu complicado. > >> > >> Numa empresa ha 100 funcionarios, 53 homens, 47 mulheres. Dentre os > >homens, 21 sao fluentes em Frances mas nao sabem Matematica, 25 tem Phd em > >matematica mas nao falam Frances e 12 sao fluentes em Frances e tem Phd em > >Matematica. Dentre as mulheres, 26 sao fluentes em Frances mas nao sabem > >matematica, 17 tem PHD em matematica mas nao falam Frances e 9 sao > >fluentes em Frances e tem Phd em matematica. > >> > >> O gerente quer formar uma comissao de 20 pessoas com os seguinte > >critérios: > >> > >> Tem que haver 10 homens e 10 mulheres. > >> Pelo menos 8 pessoas tem que ser fluentes em Frances. > >> Pelo menos 11 pessoas tem que ter Phd em matematica. > >> > >> Atendendo a tais criterios, quantas comissoes podem ser formadas? > >> > >> Artur > >> > >> ========================================================================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> ========================================================================= > >> > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================