On Tue, Jul 10, 2007 at 04:28:10PM -0300, Paulo Santa Rita wrote: > Ola Carissimo Prof Nicolau edemais colegas desta lista ... OBM-L, > Em primeiro lugar me permita explicar o teor da sua critica aos > nossosleitores para que todos possam entender... > 1) ESCLARECIMENTO DA CRITICA > Considerem duas pessoas - Isaac e Vitor - e um "ano" de 3 dias. Umvetor do > tipo (DIA1,DIA2,DIA3) vai representar o "ano". Como podemocorrer os > aniversarios destas 2 pessoas ao longo deste "ano" ? Assim: > (Isaac, Vitor, 0) , (Vitor, Isaac, 0)(Isaac, 0, Vitor) , (Vitor, 0, > Isaac)(0, Isaac, Vitor) , ((0, Vitor, Isaac) > (Isaac e Vitor, 0, 0), (0, Isaac e Vitor, 0) e ( 0, 0, Isaac e Vitor) > Considerando equiprovavel as possibilidades, a probababilidade de cadauma > seria 1/9, obvio. Entretanto, considerando que as possibilidade > de(Isaac,Vitor,0) e (Vitor, Isaac,0) corresponde A MESMA SOLUCAO (1,1,0)da > equacao : > X1 + X2 + X3 = 2 > Segue que a probabilidade da solucao (1,1,0) e o dobro, isto e, e 2/9.Acho > que deixei claro a CRITICA CRITERIOSA que o Carissimo ProfNicolau faz.
Até aqui tudo bem, isto é exatamente o que eu tentei dizer. > 2) COMO EU LI O PROBLEMA > As solucoes (Isaac, Vitor,0) e (Vitor,Isaac,0) sao diferente porqueeles > nasceram em dias diferentes. Mas, suponha que eles nasceram nomesmo dia. Um > poderia ter nascido antes do outro. Neste caso : > (Isaac e Vitor,0,0) e (Vitor e Isaac,0,0) seriam diferente, pois, > naprimeira 3-upla, Isaac nasceu antes do Vitor, o contrario tendoocorrido > na segunda 3-upla. Portanto, a solucao (2,0,0) tambemrepresentaria duas > possibilidades. > Portanto, eu considerei INTENCIONALMENTE irrelevante a diferenca deordem, > o que implica considerar equiprovaveis as diversas solucoes de > X1 + X2 + ... + X365 = 200 Não acho convincente esta sua leitura do problema. Não vejo como a presença ou ausência da hora de nascimento na certidão de nascimento possa afetar a resposta do problema. Para mim o problema pode ser reformulado assim: Considere um dado com N = 365 faces. Jogue o dado M = 200 vezes e tabule quantas vezes A[i] sai a resposta i. Tome m = max A[i]. Qual a probabilidade de que A[1] = m? Ou equivalentemente: Obtenha a lista A como acima. Ordene a lista A, tome seu máximo m e conte quantas vezes aparece o valor m; chamemos este número de Y. Qual a esperança da variável aleatória Y? Escrevi um programa maple para simular esta última versão do problema: jojo := proc(N,M) local i, j, roll, A, As, m, Y: roll := rand(1..N): A := array(1..N,sparse): for i to M do j := roll(): A[j] := A[j] + 1: od: As := sort(convert(A,list)): m := As[-1]: Y := 1: for j from 2 to M do if (As[-j] < m) then break: else Y := Y+1: fi: od: return(Y); end; a := array(1..25000): for i to 25000 do a[i] := jojo(365,200): od: (Aqui espere um pouco até o computador/programa rodar esta coisa 25000 vezes) pp := 0: for i to 25000 do pp := pp + q^a[i]: od: sort(pp); 41 38 36 35 33 28 15 14 13 12 2 q + q + q + q + 5 q + q + q + 7 q + 20 q + 68 q 11 10 9 8 7 6 5 + 159 q + 375 q + 685 q + 1092 q + 1605 q + 1788 q + 1837 q 4 3 2 + 1505 q + 1553 q + 3656 q + 10638 q (Note que temos um máximo local em Y = 5. Pelos exemplos que eu vi isto ocorre quando o máximo é 3. O máximo global em Y = 1 corresponde a um máximo mais alto.) pd := diff(pp,q): subs(q=1,pd); 81750 evalf(%/25000); 3.270000000 Bom, esta é a resposta aproximada. Ou melhor, a resposta é isso dividido por 365. > 3) COMO ATENDER A EXIGENCIA DA CRITICA > Considerando que a ordem dos nascimento em um mesmo dia saoirrelevantes e > atendendo somente a diferencas de dias, como computar onumero de > possibilidades para uma particular solucao numerica ? > Vou mostrar isso atraves de um exemplo. > Considere a solucao : (5,4,3,1,1,1,0,0) de X1 + X2 + ...+ X8 = 15. Aquantas > possibilidades ela corresponde ? Facil : do total de 15pessoas escolho 5 > para colocar na primeira posicao, BI(15,5). Sobram10 pessoas, das quais > escolho 4 para colocar na segunda posicao,BI(10,4). Sobram 6 pessoas, das > quais escolho 3 para colocar naterceira posicao, BI(6,3). A seguir permuto > as tres posicoescorrespondem aos 1's. Isso da : > T=Bi(15,5) * Bi(10,4) * Bi(6,3) * 3! > Como vemos, e facil fazer a computacao. O problema ( que ja etrabalhoso ) > vai apenas ficar mais trabalhoso. Eu gosto muito depensar, mas detesto > fazer calculos. Acho que isto que você está esboçando é correto para valores menores de M e N mas para os valores dados no problema é incrivelmente trabalhoso. > 4) ESTENDENDO O PROBLEMA > Usando o mesmo contexto e considerando as solucoes de > X1 + X2 + ... + X365 = 200 > equiprovaveis ( considere nascimentos de 200 coelhos albinos ) qual > aprobabilidade que num determinado dia "d" NAO SEJA EXTREMO, isto e,nao > seja maximo e nem seja minimo ? Para os valores de M e N do problema é óbvio que o mínimo é 0. Achar o valor esperado do número de 0s não é difícil então esta variante é tão difícil quanto a outra. Ou melhor, relendo o que você escreveu e corrigindo esta sua leitura a meu ver forçada de considerar equiprováveis as soluções. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================