Não acho que seja tão difícil ver que a séries com números arbitrariamente grandes no denominador convergem para irracionais.
A idéia que segue se aplica a qualquer série convergente com a seguinte propriedade: Se no denominador teremos termos arbitrariamente grandes, com fatores primos arbitrariamente grandes então a fração resultante da soma até N_0, não conseguirá se "estabilizar" pois existirá um N>N_0 com um primo no denominador maior do que o maior primo no denominador existente para N_0. Sendo matemáticamente mais preciso, seja S_0 o maior número primo no denominador para soma até N_0. Então haverá N>N_0 para o qual existirá S>S_0. O caso em questão é um pouco mais complexo porque k é um inteiro, o que significa que o número de fatores primos é constante. Soma (n= 1, N ) 1/[k^(p(n)] Agora vamos observar o seguinte a respeito de p(n), que parece ser apenas um "complicador" para o problema. Temos a hipótese do termo líder ser positivo. Isso é só para garantir a convergência. Note também que o grau é maior que 2. Como n > 1 e p(n) é avaliado para números inteiros, é claro que a série vai convergir porque 1/[k^p(n)] > 1/[k^2] para k>2 (desprezando o primeiro termo). Para ver que o número é irracional consideramos o último termo da soma. Ele será da forma: 1/ (p_1)^a (p_2)^b ... (p_t)^z onde p_1,p_2,p_3 ... são primos da decomposição de k. Supomos então que exista uma fração R/S que seja a soma da série. Note que as potências a, b,..., z aumentam conforme aumentamos n. S, o denominador então deverá ter a maior de todas as potências de cada um dos fatores. Ora isso não é possível pois para n+1 obteremos valores maiores para alguma das potências a,b,...,z. Donde concluímos que o resultado deve ser irracional. Essa é uma prova *qualitativa* precisa de mais rigor, eu reconheço. Ronaldo Luiz Alonso Artur Costa Steiner wrote: > Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por > aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas > apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar. > > Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau >= 2, com coeficientes > inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série > Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional. > > Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que > o limite eh irracional. > > Abracos > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================