Olá, É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência.
Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio. Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau infinito. Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se referindo à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente.. No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1. Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e no entanto 0 está longe de ser transcendente. Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries de uma função. Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está se referindo. O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou "polinômios infinitos". Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais. Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma tarefa trivial.. especialmente a primeira. Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente por Schneider, que diz o seguinte: TEOREMA (Gelfond & Schneider): * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não é racional, então X^Y é transcendente. Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente, bem como 2^sqrt(2). Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil. Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational Numbers". Abraço, - Leandro.