Ola Rita,
Vamos por partes,
1) Se a,b,c são lados de um triangulo, rpove que | b-c| < a.
Essa demosntracao eu deixarei para outro colega, pois esgotou o meu tempo
agora, ou entao a faco mais tarde, ok?. Mas guarde que "A soma de dois lados
do triângulo é sempre maior do que o terceiro lado, e a diferença
(positiva) é sempre menor." (Desigualdade triangular)
2) seja ABC um triângulo qualquer. Mostre que os vértices B e C são pontos
eqüidistantes da reta contendo a mediana que parte do vértice A.
Sejam:
- *M* o ponto medio do lado BC;
- *r* a reta contendo a mediana que parte do vértice A;
- *D* o ponto de intersecao da perpendicular a reta r passando pelo ponto C;
- *E *o ponto de intersecao da perpendicular a reta r passando pelo ponto B;
Note agora que os triangulos BEM e CDM sao congruentes pelo caso:
Lado/Angulo_adjacente/Angulo_oposto (BM=MC; Angulo_BME = Angulo_DMC; Angulo_BEM
= Angulo_CDM=90º). Portanto segmento CD tem a mesma medida de BE.
3) Mostre que as diagonais de um losango cortam-se em angulo reto e são
bissetrizes dos seus angulos.
Seja ABCD o losango. Como os lados de um losango sao congruentes, a
diagonal BD deste losango pode ser considerada a base do triangulo isosceles
ABD. A outra diagonal AC corta a primeira (BD) no ponto M que é o ponto
medio de ambas as diagonais (as diagonais de qualquer
paralelogramo interseptam-se mutuamente no seu ponto medio, o que pode ser
demonstrado por congruencia de triangulos). Entao AM eh a mediana relativa a
base do triangulo isosceles ABD. Note agora que os triangulos ABM e ADM sao
congruentes pelo caso LLL. Assim, o angulo BMA e DMA sao congruentes e medem
a 90º (ja que a soma deles eh 180º - sao angulos adjacentes
suplementares). Alem disso, AM tambem eh a *bissetriz* interna do angulo do
vertice A do triangulo ABD, ja que pela congruencia, os angulos MAB e MAD
tem a mesma medida. Use o mesmo raciocinio em relacao aos triangulos
isosceles ABC, BCD e CDA para concluir que as diagonais sao as bissetrizes
dos angulos internos do losango.
4) Considere duas circunferências tangentes internamente em A e tais que a
menor passa pelo centro da maior. Mostre que qualquer corda da
circunferência maior, com uma das extremidades em A, é bisseccionada pela
circunferência menor.
1º caso) *A corda eh diametro da circunferencia maior*:
Como o raio da circunferencia maior tem a mesma medida da
diagonal da circunferencia menor, o diametro da circunferencia maior que
passa por A eh bisseccionado pela circunferencia menor;
2º caso) *A corda nao eh um diametro da circunferencia maior*:
Sejam
- *O* o centro da circunferencia maior;
- *B* um ponto da circunferencia maior;
- *C* a intercecao da corda AB com a circunferencia menor;
Note que o triangulo ACO sera sempre retangulo em C, pois esta inscrito numa
semi-circunferencia. Assim, o segmento OC eh a altura relativa a base do
triangulo isosceles OAB e se eh altura eh tambem mediana, dividindo portanto
o segmento AB (ou a corda AB) em duas partes congruentes.
Um abraco,
Palmerim
