A maioria das pessoas faz algo como "pode ser 9, 18, 27, 36 ou 45, então ele tem 2 chances em 5 de acertar, que dá 40%" -- é uma primeira aproximação, mas, na minha humilde opinião, está errado -- quem disse que estas 5 hipóteses são igualmente prováveis?
A minha solução discorda da do Fernando milimetricamente -- para mim, ao saber que não há palitos na caixa, a distribuição de probabilidade do número original de palitos na caixa deixa de ser 1/9 para cada número de 51 a 59, levemente (pense assim: 51 é agora um pouco menos verossímil que 59, pois com 51 a chance dos alunos escolherem de 0 a 9 palitos para pôr na caixa era levemente maior, e agora sabemos que isto não aconteceu). Acho que a solução do Fernando estaria correta se o professor tivesse mandado os alunos porem 10 ou mais palitos na caixa **desde o começo**, ao invés de ter verificado isso ao final (isto faz diferença!). Minha solução é assim: sejam Z = número de palitos na caixa que o professor deu aos alunos X = número de palitos que os alunos botaram de volta na caixa Y = número de palitos na caixa ao final Para resolver o problema, temos que fazer alguma hipótese sobre as distribuições de X e Z. Vou copiar o Fernando i) Suponho que A PRIORI Z assume cada valor de 51 a 59 com probabilidade 1/9 (interpretei *entre* 50 e 60 sem extremos!). ii) Suponho que (dado Z) X assume qualquer valor entre 0 e Z com probabilidade 1/(z+1) (o enunciado não deixa claro se os alunos podiam pôr 0 palitos na caixa; pior, o enunciado sugere que os alunos não puseram Z nem Z-1 palitos na caixa quando diz "esconderam oS palitoS restanteS", mas eu vou ignorar esta complicação). Note-se que as pessoas não costumam escolher números assim, mas alguma hipótese tem de ser feita, e esta é a mais simples. Com essas hipóteses, a tabela abaixo mostra a distribuição conjunta de X e Z antes de sacudir a caixa: Z X= 0... 50 51 52 ... 59 51 1/(52*9)... 1/(52*9) 1/(52*9) 0 ... 0 52 1/(53*9)... 1/(53*9) 1/(53*9) 1/(53*9) ... 0 ...................................................... 59 1/(60*9)... 1/(60*9) 1/(60*9) 1/(60*9) ... 1/(60*9) Por exemplo, Pr(Z=52 e X=51)=1/53*1/9, a priori. Note que Y=[X/10]*9, ou seja: Y=0 se X=0,1,...,9 Y=9 se X=10,11,...,19 Y=18 se X=20,...,29 etc. Então, juntando as colunas certas, fica o seguinte para Y e Z: Z Y= 0 9 18 27 36 45 51 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 10/(52*9) 2/(52*9) 52 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 10/(53*9) 3/(53*9) ............................................................. 59 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) 10/(60*9) Para facilitar, escreva S=1/52+1/53+...+1/60. O que a gente tá vendo é que as probabilidades para Y são (antes de sacudir a caixa): Pr(Y=0)=Pr(Y=9)=...=Pr(Y=36)=10S/9; Pr(Y=45)=o resto. Como o Fernando disse, Pr(Y=45) é menor que as outras, então o professor não deve tentar adivinhar este número. Ele deve tentar algo como 9 e 18, digamos, se for esperto. Quando ele sacode a caixa, a possibilidade Y=0 é jogada fora, e as outras probabilidades têm de ser re-escaladas para que a soma ainda dê 1. Então: APÓS SACUDIDA: Pr(Y=9)=...=Pr(Y=36)=(10S/9)/(1-10S/9)=10S/(9-10S) Então a chance de ele adivinhar nas duas tentativas é 2*10S/(9-10S) onde S=1/52+...+1/60. Não vejo nenhuma outra simplificação possível -- fazendo a conta com o computador, achei 599994871426/1376410941931= 43.591% -- que ficou BEM perto do que o Fernando achou. Tá razoável -- há 5 possibilidades, mas a 5a é um pouco menos provável que as 4 primeiras, e a gente escolheu duas das 4 primeiras. Abraço, Ralph On Nov 13, 2007 10:02 AM, Fernando Oliveira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Eu considerei possibilidades demais, aí foi meu erro. Como 0 não é > possível, o número total de números possíveis no passo 2 é z - 9, ou > seja, só aqueles no intervalo [10, z]. > > Fazendo essa mudança, o total é de 43.7%, o que é muito estranho dado > que há mais de 5 possibilidades. Se eu errei em mais alguma outra > coisa, por favor me corrijam. > > > > > > -- > Fernando Oliveira > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
